Математический анализ Примеры

$\sum_{i = - 2}^{3} 3^{- i}$

Этап 1

Сумму конечного геометрического ряда можно найти по формуле $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ , где $a$ — первый член, а $r$ — отношение между последовательными членами.

Этап 2

Найдем отношение последовательных членов, подставив в формулу $r = \frac{a_{i + 1}}{a_{i}}$ и упростив.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Подставим $a_{i}$ и $a_{i + 1}$ в формулу для $r$ .

$r = \frac{3^{- (i + 1)}}{3^{- i}}$

Этап 2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Сократим общий множитель $3^{- (i + 1)}$ и $3^{- i}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Вынесем множитель $3^{- i}$ из $3^{- (i + 1)}$ .

$r = \frac{3^{- i} \cdot 3^{- (i + 1) + i}}{3^{- i}}$

Этап 2.2.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.2.1

Умножим на $1$ .

$r = \frac{3^{- i} \cdot 3^{- (i + 1) + i}}{3^{- i} \cdot 1}$

Этап 2.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$r = \frac{3^{- i} \cdot 3^{- (i + 1) + i}}{3^{- i} \cdot 1}$

Этап 2.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$r = \frac{3^{- (i + 1) + i}}{1}$

Этап 2.2.1.2.4

Разделим $3^{- (i + 1) + i}$ на $1$ .

$r = 3^{- (i + 1) + i}$

Этап 2.2.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$r = 3^{- i - 1 \cdot 1 + i}$

Этап 2.2.2.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$r = 3^{- i - 1 + i}$

Этап 2.2.3

Объединим противоположные члены в $- i - 1 + i$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Добавим $- i$ и $i$ .

$r = 3^{0 - 1}$

Этап 2.2.3.2

Вычтем $1$ из $0$ .

$r = 3^{- 1}$

Этап 2.2.4

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$r = \frac{1}{3}$

Этап 3

Найдем первый член ряда, подставив начальное значение и упростив.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим $- 2$ вместо $i$ в $3^{- i}$ .

$a = 3^{2}$

Этап 3.2

Возведем $3$ в степень $2$ .

$a = 9$

Этап 4

Подставим знаменатель, первый член и количество членов геометрической прогрессии в формулу суммы.

$9 \frac{1 - {(\frac{1}{3})}^{6}}{1 - \frac{1}{3}}$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Умножим числитель и знаменатель дроби на $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Умножим $\frac{1 - {(\frac{1}{3})}^{6}}{1 - \frac{1}{3}}$ на $\frac{3}{3}$ .

$9 (\frac{3}{3} \cdot \frac{1 - {(\frac{1}{3})}^{6}}{1 - \frac{1}{3}})$

Этап 5.1.2

Объединим.

$9 \frac{3 (1 - {(\frac{1}{3})}^{6})}{3 (1 - \frac{1}{3})}$

Этап 5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$9 \frac{3 \cdot 1 + 3 (- {(\frac{1}{3})}^{6})}{3 \cdot 1 + 3 (- \frac{1}{3})}$

Этап 5.3

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{3}$ в числитель.

$9 \frac{3 \cdot 1 + 3 (- {(\frac{1}{3})}^{6})}{3 \cdot 1 + 3 (\frac{- 1}{3})}$

Этап 5.3.2

Сократим общий множитель.

$9 \frac{3 \cdot 1 + 3 (- {(\frac{1}{3})}^{6})}{3 \cdot 1 + 3 (\frac{- 1}{3})}$

Этап 5.3.3

Перепишем это выражение.

$9 \frac{3 \cdot 1 + 3 (- {(\frac{1}{3})}^{6})}{3 \cdot 1 - 1}$

Этап 5.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Умножим $3$ на $1$ .

$9 \frac{3 + 3 (- {(\frac{1}{3})}^{6})}{3 \cdot 1 - 1}$

Этап 5.4.2

Применим правило умножения к $\frac{1}{3}$ .

$9 \frac{3 + 3 (- \frac{1^{6}}{3^{6}})}{3 \cdot 1 - 1}$

Этап 5.4.3

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1^{6}}{3^{6}}$ в числитель.

$9 \frac{3 + 3 \frac{- 1^{6}}{3^{6}}}{3 \cdot 1 - 1}$

Этап 5.4.3.2

Вынесем множитель $3$ из $3^{6}$ .

$9 \frac{3 + 3 \frac{- 1^{6}}{3 \cdot 3^{5}}}{3 \cdot 1 - 1}$

Этап 5.4.3.3

Сократим общий множитель.

$9 \frac{3 + 3 \frac{- 1^{6}}{3 \cdot 3^{5}}}{3 \cdot 1 - 1}$

Этап 5.4.3.4

Перепишем это выражение.

$9 \frac{3 + \frac{- 1^{6}}{3^{5}}}{3 \cdot 1 - 1}$

Этап 5.4.4

Единица в любой степени равна единице.

$9 \frac{3 + \frac{- 1 \cdot 1}{3^{5}}}{3 \cdot 1 - 1}$

Этап 5.4.5

Возведем $3$ в степень $5$ .

$9 \frac{3 + \frac{- 1 \cdot 1}{243}}{3 \cdot 1 - 1}$

Этап 5.4.6

Умножим $- 1$ на $1$ .

$9 \frac{3 + \frac{- 1}{243}}{3 \cdot 1 - 1}$

Этап 5.4.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$9 \frac{3 - \frac{1}{243}}{3 \cdot 1 - 1}$

Этап 5.4.8

Чтобы записать $3$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{243}{243}$ .

$9 \frac{3 \cdot \frac{243}{243} - \frac{1}{243}}{3 \cdot 1 - 1}$

Этап 5.4.9

Объединим $3$ и $\frac{243}{243}$ .

$9 \frac{\frac{3 \cdot 243}{243} - \frac{1}{243}}{3 \cdot 1 - 1}$

Этап 5.4.10

Объединим числители над общим знаменателем.

$9 \frac{\frac{3 \cdot 243 - 1}{243}}{3 \cdot 1 - 1}$

Этап 5.4.11

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.11.1

Умножим $3$ на $243$ .

$9 \frac{\frac{729 - 1}{243}}{3 \cdot 1 - 1}$

Этап 5.4.11.2

Вычтем $1$ из $729$ .

$9 \frac{\frac{728}{243}}{3 \cdot 1 - 1}$

Этап 5.5

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Умножим $3$ на $1$ .

$9 \frac{\frac{728}{243}}{3 - 1}$

Этап 5.5.2

Вычтем $1$ из $3$ .

$9 \frac{\frac{728}{243}}{2}$

Этап 5.6

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$9 (\frac{728}{243} \cdot \frac{1}{2})$

Этап 5.7

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.1

Вынесем множитель $2$ из $728$ .

$9 (\frac{2 (364)}{243} \cdot \frac{1}{2})$

Этап 5.7.2

Сократим общий множитель.

$9 (\frac{2 \cdot 364}{243} \cdot \frac{1}{2})$

Этап 5.7.3

Перепишем это выражение.

$9 (\frac{364}{243})$

Этап 5.8

Сократим общий множитель $9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.8.1

Вынесем множитель $9$ из $243$ .

$9 \frac{364}{9 (27)}$

Этап 5.8.2

Сократим общий множитель.

$9 \frac{364}{9 \cdot 27}$

Этап 5.8.3

Перепишем это выражение.

$\frac{364}{27}$

Этап 6

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{364}{27}$

Десятичная форма:

$13.\overline{481}$

Форма смешанных чисел:

$13 \frac{13}{27}$