Математический анализ Примеры

$\ln (2 e^{x} - 1)$

Этап 1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = 2 e^{x} - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $2 e^{x} - 1$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [2 e^{x} - 1]$

Этап 1.2

Производная $\ln (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [2 e^{x} - 1]$

Этап 1.3

Заменим все вхождения $u$ на $2 e^{x} - 1$ .

$\frac{1}{2 e^{x} - 1} \frac{d}{d x} [2 e^{x} - 1]$

Этап 2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $2 e^{x} - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{1}{2 e^{x} - 1} (\frac{d}{d x} [2 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Этап 2.2

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 e^{x}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$\frac{1}{2 e^{x} - 1} (2 \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Этап 3

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ имеет вид $a^{x} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$\frac{1}{2 e^{x} - 1} (2 e^{x} + \frac{d}{d x} [- 1])$

Этап 4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{1}{2 e^{x} - 1} (2 e^{x} + 0)$

Этап 4.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Добавим $2 e^{x}$ и $0$ .

$\frac{1}{2 e^{x} - 1} (2 e^{x})$

Этап 4.2.2

Объединим $2$ и $\frac{1}{2 e^{x} - 1}$ .

$\frac{2}{2 e^{x} - 1} e^{x}$

Этап 4.2.3

Объединим $\frac{2}{2 e^{x} - 1}$ и $e^{x}$ .

$\frac{2 e^{x}}{2 e^{x} - 1}$