Математический анализ Примеры

$\int \frac{2 \sin (2 x)}{1 + 9 \cos^{2} (2 x)} d x$

Этап 1

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$2 \int \frac{\sin (2 x)}{1 + 9 \cos^{2} (2 x)} d x$

Этап 2

Пусть $u_{2} = \cos (2 x)$ . Тогда $d u_{2} = - 2 \sin (2 x) d x$ , следовательно $- \frac{1}{2} d u_{2} = \sin (2 x) d x$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть $u_{2} = \cos (2 x)$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Дифференцируем $\cos (2 x)$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Этап 2.1.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \cos (x)$ и $g (x) = 2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $2 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 2.1.2.2

Производная $\cos (u_{1})$ по $u_{1}$ равна $- \sin (u_{1})$ .

$- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 2.1.2.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $2 x$ .

$- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 2.1.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

Этап 2.1.3.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$- 2 \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.1.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 2 \sin (2 x) \cdot 1$

Этап 2.1.3.4

Умножим $- 2$ на $1$ .

$- 2 \sin (2 x)$

Этап 2.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{2}$ и $d u_{2}$ .

$2 \int \frac{1}{1 + 9 {u_{2}}^{2}} \cdot \frac{1}{- 2} d u_{2}$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$2 \int \frac{1}{1 + 9 {u_{2}}^{2}} (- \frac{1}{2}) d u_{2}$

Этап 3.2

Умножим $\frac{1}{1 + 9 {u_{2}}^{2}}$ на $\frac{1}{2}$ .

$2 \int - \frac{1}{(1 + 9 {u_{2}}^{2}) \cdot 2} d u_{2}$

Этап 3.3

Перенесем $2$ влево от $1 + 9 {u_{2}}^{2}$ .

$2 \int - \frac{1}{2 (1 + 9 {u_{2}}^{2})} d u_{2}$

Этап 4

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u_{2}$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$2 (- \int \frac{1}{2 (1 + 9 {u_{2}}^{2})} d u_{2})$

Этап 5

Умножим $- 1$ на $2$ .

$- 2 \int \frac{1}{2 (1 + 9 {u_{2}}^{2})} d u_{2}$

Этап 6

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u_{2}$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$- 2 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{1 + 9 {u_{2}}^{2}} d u_{2})$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $- 2$ .

$\frac{- 2}{2} \int \frac{1}{1 + 9 {u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Этап 7.2

Сократим общий множитель $- 2$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$\frac{2 \cdot - 1}{2} \int \frac{1}{1 + 9 {u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Этап 7.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} \int \frac{1}{1 + 9 {u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Этап 7.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} \int \frac{1}{1 + 9 {u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Этап 7.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{- 1}{1} \int \frac{1}{1 + 9 {u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Этап 7.2.2.4

Разделим $- 1$ на $1$ .

$- \int \frac{1}{1 + 9 {u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Этап 8

Вынесем множитель $9$ из $1 + 9 {u_{2}}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Вынесем множитель $9$ из $1$ .

$- \int \frac{1}{9 (\frac{1}{9}) + 9 {u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Этап 8.2

Вынесем множитель $9$ из $9 {u_{2}}^{2}$ .

$- \int \frac{1}{9 (\frac{1}{9}) + 9 ({u_{2}}^{2})} d u_{2}$

Этап 8.3

Вынесем множитель $9$ из $9 (\frac{1}{9}) + 9 ({u_{2}}^{2})$ .

$- \int \frac{1}{9 (\frac{1}{9} + {u_{2}}^{2})} d u_{2}$

Этап 9

Поскольку $\frac{1}{9}$ — константа по отношению к $u_{2}$ , вынесем $\frac{1}{9}$ из-под знака интеграла.

$- (\frac{1}{9} \int \frac{1}{\frac{1}{9} + {u_{2}}^{2}} d u_{2})$

Этап 10

Перепишем $\frac{1}{9}$ в виде ${(\frac{1}{3})}^{2}$ .

$- \frac{1}{9} \int \frac{1}{{(\frac{1}{3})}^{2} + {u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Этап 11

Интеграл $\frac{1}{{(\frac{1}{3})}^{2} + {u_{2}}^{2}}$ по $u_{2}$ имеет вид $\frac{1}{\frac{1}{3}} \arctan (\frac{u_{2}}{\frac{1}{3}}) + C$ .

$- \frac{1}{9} (\frac{1}{\frac{1}{3}} \arctan (\frac{u_{2}}{\frac{1}{3}}) + C)$

Этап 12

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{1}{9} (1 \cdot 3 \arctan (\frac{u_{2}}{\frac{1}{3}}) + C)$

Этап 12.1.2

Умножим $3$ на $1$ .

$- \frac{1}{9} (3 \arctan (\frac{u_{2}}{\frac{1}{3}}) + C)$

Этап 12.1.3

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{1}{9} (3 \arctan (u_{2} \cdot 3) + C)$

Этап 12.1.4

Перенесем $3$ влево от $u_{2}$ .

$- \frac{1}{9} (3 \arctan (3 u_{2}) + C)$

Этап 12.2

Перепишем $- \frac{1}{9} (3 \arctan (3 u_{2}) + C)$ в виде $- \frac{1}{9} \cdot 3 \arctan (3 u_{2}) + C$ .

$- \frac{1}{9} \cdot 3 \arctan (3 u_{2}) + C$

Этап 12.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.3.1

Умножим $3$ на $- 1$ .

$- 3 (\frac{1}{9}) \arctan (3 u_{2}) + C$

Этап 12.3.2

Объединим $- 3$ и $\frac{1}{9}$ .

$\frac{- 3}{9} \arctan (3 u_{2}) + C$

Этап 12.3.3

Сократим общий множитель $- 3$ и $9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.3.3.1

Вынесем множитель $3$ из $- 3$ .

$\frac{3 (- 1)}{9} \arctan (3 u_{2}) + C$

Этап 12.3.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.3.3.2.1

Вынесем множитель $3$ из $9$ .

$\frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 3} \arctan (3 u_{2}) + C$

Этап 12.3.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 3} \arctan (3 u_{2}) + C$

Этап 12.3.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{- 1}{3} \arctan (3 u_{2}) + C$

Этап 12.3.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1}{3} \arctan (3 u_{2}) + C$

Этап 13

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $\cos (2 x)$ .

$- \frac{1}{3} \arctan (3 \cos (2 x)) + C$