Математический анализ Примеры

${(\sin (2 x) - \cos (2 x))}^{2}$

Этап 1

Запишем ${(\sin (2 x) - \cos (2 x))}^{2}$ в виде функции.

$f (x) = {(\sin (2 x) - \cos (2 x))}^{2}$

Этап 2

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 3

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int {(\sin (2 x) - \cos (2 x))}^{2} d x$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем ${(\sin (2 x) - \cos (2 x))}^{2}$ в виде $(\sin (2 x) - \cos (2 x)) (\sin (2 x) - \cos (2 x))$ .

$\int (\sin (2 x) - \cos (2 x)) (\sin (2 x) - \cos (2 x)) d x$

Этап 4.2

Развернем $(\sin (2 x) - \cos (2 x)) (\sin (2 x) - \cos (2 x))$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\int \sin (2 x) (\sin (2 x) - \cos (2 x)) - \cos (2 x) (\sin (2 x) - \cos (2 x)) d x$

Этап 4.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\int \sin (2 x) \sin (2 x) + \sin (2 x) (- \cos (2 x)) - \cos (2 x) (\sin (2 x) - \cos (2 x)) d x$

Этап 4.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\int \sin (2 x) \sin (2 x) + \sin (2 x) (- \cos (2 x)) - \cos (2 x) \sin (2 x) - \cos (2 x) (- \cos (2 x)) d x$

Этап 4.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1

Умножим $\sin (2 x) \sin (2 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1.1

Возведем $\sin (2 x)$ в степень $1$ .

$\int \sin^{1} (2 x) \sin (2 x) + \sin (2 x) (- \cos (2 x)) - \cos (2 x) \sin (2 x) - \cos (2 x) (- \cos (2 x)) d x$

Этап 4.3.1.1.2

Возведем $\sin (2 x)$ в степень $1$ .

$\int \sin^{1} (2 x) \sin^{1} (2 x) + \sin (2 x) (- \cos (2 x)) - \cos (2 x) \sin (2 x) - \cos (2 x) (- \cos (2 x)) d x$

Этап 4.3.1.1.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int {\sin (2 x)}^{1 + 1} + \sin (2 x) (- \cos (2 x)) - \cos (2 x) \sin (2 x) - \cos (2 x) (- \cos (2 x)) d x$

Этап 4.3.1.1.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\int \sin^{2} (2 x) + \sin (2 x) (- \cos (2 x)) - \cos (2 x) \sin (2 x) - \cos (2 x) (- \cos (2 x)) d x$

Этап 4.3.1.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\int \sin^{2} (2 x) - \sin (2 x) \cos (2 x) - \cos (2 x) \sin (2 x) - \cos (2 x) (- \cos (2 x)) d x$

Этап 4.3.1.3

Умножим $- \cos (2 x) (- \cos (2 x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.3.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\int \sin^{2} (2 x) - \sin (2 x) \cos (2 x) - \cos (2 x) \sin (2 x) + 1 \cos (2 x) \cos (2 x) d x$

Этап 4.3.1.3.2

Умножим $\cos (2 x)$ на $1$ .

$\int \sin^{2} (2 x) - \sin (2 x) \cos (2 x) - \cos (2 x) \sin (2 x) + \cos (2 x) \cos (2 x) d x$

Этап 4.3.1.3.3

Возведем $\cos (2 x)$ в степень $1$ .

$\int \sin^{2} (2 x) - \sin (2 x) \cos (2 x) - \cos (2 x) \sin (2 x) + \cos^{1} (2 x) \cos (2 x) d x$

Этап 4.3.1.3.4

Возведем $\cos (2 x)$ в степень $1$ .

$\int \sin^{2} (2 x) - \sin (2 x) \cos (2 x) - \cos (2 x) \sin (2 x) + \cos^{1} (2 x) \cos^{1} (2 x) d x$

Этап 4.3.1.3.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int \sin^{2} (2 x) - \sin (2 x) \cos (2 x) - \cos (2 x) \sin (2 x) + {\cos (2 x)}^{1 + 1} d x$

Этап 4.3.1.3.6

Добавим $1$ и $1$ .

$\int \sin^{2} (2 x) - \sin (2 x) \cos (2 x) - \cos (2 x) \sin (2 x) + \cos^{2} (2 x) d x$

Этап 4.3.2

Изменим порядок множителей в $- \sin (2 x) \cos (2 x)$ .

$\int \sin^{2} (2 x) - \cos (2 x) \sin (2 x) - \cos (2 x) \sin (2 x) + \cos^{2} (2 x) d x$

Этап 4.3.3

Вычтем $\cos (2 x) \sin (2 x)$ из $- \cos (2 x) \sin (2 x)$ .

$\int \sin^{2} (2 x) - 2 \cos (2 x) \sin (2 x) + \cos^{2} (2 x) d x$

Этап 4.4

Перенесем $\cos^{2} (2 x)$ .

$\int \sin^{2} (2 x) + \cos^{2} (2 x) - 2 \cos (2 x) \sin (2 x) d x$

Этап 4.5

Применим формулу Пифагора.

$\int 1 - 2 \cos (2 x) \sin (2 x) d x$

Этап 5

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int d x + \int - 2 \cos (2 x) \sin (2 x) d x$

Этап 6

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$x + C + \int - 2 \cos (2 x) \sin (2 x) d x$

Этап 7

Поскольку $- 2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 2$ из-под знака интеграла.

$x + C - 2 \int \cos (2 x) \sin (2 x) d x$

Этап 8

Пусть $u_{2} = \cos (2 x)$ . Тогда $d u_{2} = - 2 \sin (2 x) d x$ , следовательно $- \frac{1}{2} d u_{2} = \sin (2 x) d x$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Пусть $u_{2} = \cos (2 x)$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Дифференцируем $\cos (2 x)$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Этап 8.1.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \cos (x)$ и $g (x) = 2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $2 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 8.1.2.2

Производная $\cos (u_{1})$ по $u_{1}$ равна $- \sin (u_{1})$ .

$- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 8.1.2.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $2 x$ .

$- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 8.1.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.3.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

Этап 8.1.3.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$- 2 \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 8.1.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 2 \sin (2 x) \cdot 1$

Этап 8.1.3.4

Умножим $- 2$ на $1$ .

$- 2 \sin (2 x)$

Этап 8.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{2}$ и $d u_{2}$ .

$x + C - 2 \int u_{2} \frac{1}{- 2} d u_{2}$

Этап 9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x + C - 2 \int u_{2} (- \frac{1}{2}) d u_{2}$

Этап 9.2

Объединим $u_{2}$ и $\frac{1}{2}$ .

$x + C - 2 \int - \frac{u_{2}}{2} d u_{2}$

Этап 10

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u_{2}$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$x + C - 2 (- \int \frac{u_{2}}{2} d u_{2})$

Этап 11

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$x + C + 2 \int \frac{u_{2}}{2} d u_{2}$

Этап 12

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u_{2}$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$x + C + 2 (\frac{1}{2} \int u_{2} d u_{2})$

Этап 13

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$x + C + \frac{2}{2} \int u_{2} d u_{2}$

Этап 13.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1

Сократим общий множитель.

$x + C + \frac{2}{2} \int u_{2} d u_{2}$

Этап 13.2.2

Перепишем это выражение.

$x + C + 1 \int u_{2} d u_{2}$

Этап 13.3

Умножим $\int u_{2} d u_{2}$ на $1$ .

$x + C + \int u_{2} d u_{2}$

Этап 14

По правилу степени интеграл $u_{2}$ по $u_{2}$ имеет вид $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ .

$x + C + \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C$

Этап 15

Упростим.

$x + \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C$

Этап 16

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $\cos (2 x)$ .

$x + \frac{1}{2} \cos^{2} (2 x) + C$

Этап 17

Ответ ― первообразная функции $f (x) = {(\sin (2 x) - \cos (2 x))}^{2}$ .

$F (x) =$ $x + \frac{1}{2} \cos^{2} (2 x) + C$