Математический анализ Примеры

$f (θ) = \cos (θ + \frac{π}{3})$ , $θ = 0$

Этап 1

Рассмотрим функцию, используемую для нахождения линеаризации в $a$ .

$L (x) = f (a) + f' (a) (x - a)$

Этап 2

Подставим значение $a = 0$ в функцию линеаризации.

$L (x) = f (0) + f' (0) (x - 0)$

Этап 3

Найдем значение $f (0)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Заменим в этом выражении переменную $θ$ на $0$ .

$f (0) = \cos ((0) + \frac{π}{3})$

Этап 3.2

Упростим $\cos ((0) + \frac{π}{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Избавимся от скобок.

$\cos ((0) + \frac{π}{3})$

Этап 3.2.2

Добавим $0$ и $\frac{π}{3}$ .

$\cos (\frac{π}{3})$

Этап 3.2.3

Точное значение $\cos (\frac{π}{3})$ : $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2}$

Этап 4

Найдем производную и ее значение при $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем производную $f (θ) = \cos (θ + \frac{π}{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ имеет вид $f' (g (θ)) g' (θ)$ , где $f (θ) = \cos (θ)$ и $g (θ) = θ + \frac{π}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $θ + \frac{π}{3}$ .

$\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d θ} [θ + \frac{π}{3}]$

Этап 4.1.1.2

Производная $\cos (u)$ по $u$ равна $- \sin (u)$ .

$- \sin (u) \frac{d}{d θ} [θ + \frac{π}{3}]$

Этап 4.1.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $θ + \frac{π}{3}$ .

$- \sin (θ + \frac{π}{3}) \frac{d}{d θ} [θ + \frac{π}{3}]$

Этап 4.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

По правилу суммы производная $θ + \frac{π}{3}$ по $θ$ имеет вид $\frac{d}{d θ} [θ] + \frac{d}{d θ} [\frac{π}{3}]$ .

$- \sin (θ + \frac{π}{3}) (\frac{d}{d θ} [θ] + \frac{d}{d θ} [\frac{π}{3}])$

Этап 4.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d θ} [θ^{n}]$ имеет вид $n θ^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- \sin (θ + \frac{π}{3}) (1 + \frac{d}{d θ} [\frac{π}{3}])$

Этап 4.1.2.3

Поскольку $\frac{π}{3}$ является константой относительно $θ$ , производная $\frac{π}{3}$ относительно $θ$ равна $0$ .

$- \sin (θ + \frac{π}{3}) (1 + 0)$

Этап 4.1.2.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.4.1

Добавим $1$ и $0$ .

$- \sin (θ + \frac{π}{3}) \cdot 1$

Этап 4.1.2.4.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- \sin (θ + \frac{π}{3})$

Этап 4.2

Заменим в этом выражении переменную $θ$ на $0$ .

$- \sin ((0) + \frac{π}{3})$

Этап 4.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Добавим $0$ и $\frac{π}{3}$ .

$- \sin (\frac{π}{3})$

Этап 4.3.2

Точное значение $\sin (\frac{π}{3})$ : $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{3}}{2}$

Этап 5

Подставим компоненты в функцию линеаризации, чтобы найти линеаризацию в $a$ .

$L (x) = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} (x - 0)$

Этап 6

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Вычтем $0$ из $x$ .

$L (x) = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} x$

Этап 6.2

Объединим $x$ и $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$L (x) = \frac{1}{2} - \frac{x \sqrt{3}}{2}$

Этап 7