Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{1}{\sqrt[3]{x}}$

Этап 1

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 2

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int \frac{1}{\sqrt[3]{x}} d x$

Этап 3

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{x}$ в виде $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\int \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} d x$

Этап 3.2

Вынесем $x^{\frac{1}{3}}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\int {(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1} d x$

Этап 3.3

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int x^{\frac{1}{3} \cdot - 1} d x$

Этап 3.3.2

Объединим $\frac{1}{3}$ и $- 1$ .

$\int x^{\frac{- 1}{3}} d x$

Этап 3.3.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\int x^{- \frac{1}{3}} d x$

Этап 4

По правилу степени интеграл $x^{- \frac{1}{3}}$ по $x$ имеет вид $\frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}} + C$

Этап 5

Ответ ― первообразная функции $f (x) = \frac{1}{\sqrt[3]{x}}$ .

$F (x) =$ $\frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}} + C$