Математический анализ Примеры

$\int 2 x (x^{2} - 3) (\frac{1}{2}) d x$

Этап 1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Объединим $2$ и $\frac{1}{2}$ .

$\int x (x^{2} - 3) \frac{2}{2} d x$

Этап 1.2

Объединим $\frac{2}{2}$ и $x$ .

$\int \frac{2 x}{2} (x^{2} - 3) d x$

Этап 1.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Сократим общий множитель.

$\int \frac{2 x}{2} (x^{2} - 3) d x$

Этап 1.3.2

Разделим $x$ на $1$ .

$\int x (x^{2} - 3) d x$

Этап 2

Пусть $u = x^{2} - 3$ . Тогда $d u = 2 x d x$ , следовательно $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть $u = x^{2} - 3$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Дифференцируем $x^{2} - 3$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} - 3]$

Этап 2.1.2

По правилу суммы производная $x^{2} - 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Этап 2.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- 3]$

Этап 2.1.4

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3$ относительно $x$ равна $0$ .

$2 x + 0$

Этап 2.1.5

Добавим $2 x$ и $0$ .

$2 x$

Этап 2.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int u \frac{1}{2} d u$

Этап 3

Объединим $u$ и $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{u}{2} d u$

Этап 4

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} \int u d u$

Этап 5

По правилу степени интеграл $u$ по $u$ имеет вид $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{2} u^{2} + C)$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Перепишем $\frac{1}{2} (\frac{1}{2} u^{2} + C)$ в виде $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} u^{2} + C$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} u^{2} + C$

Этап 6.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 2} u^{2} + C$

Этап 6.2.2

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{1}{4} u^{2} + C$

Этап 7

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2} - 3$ .

$\frac{1}{4} {(x^{2} - 3)}^{2} + C$