Математический анализ Примеры

$y = x^{3} + x^{2} - 8 x + 5$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

По правилу суммы производная $x^{3} + x^{2} - 8 x + 5$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Этап 1.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Этап 1.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$3 x^{2} + 2 x + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Этап 1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 8 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $- 8$ является константой относительно $x$ , производная $- 8 x$ по $x$ равна $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} + 2 x - 8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$3 x^{2} + 2 x - 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5]$

Этап 1.2.3

Умножим $- 8$ на $1$ .

$3 x^{2} + 2 x - 8 + \frac{d}{d x} [5]$

Этап 1.3

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5$ относительно $x$ равна $0$ .

$3 x^{2} + 2 x - 8 + 0$

Этап 1.3.2

Добавим $3 x^{2} + 2 x - 8$ и $0$ .

$3 x^{2} + 2 x - 8$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $3 x^{2} + 2 x - 8$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- 8)$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x^{2}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- 8)$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- 8)$

Этап 2.2.3

Умножим $2$ на $3$ .

$f'' (x) = 6 x + \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- 8)$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 6 x + 2 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 8)$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = 6 x + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 8)$

Этап 2.3.3

Умножим $2$ на $1$ .

$f'' (x) = 6 x + 2 + \frac{d}{d x} (- 8)$

Этап 2.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Поскольку $- 8$ является константой относительно $x$ , производная $- 8$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = 6 x + 2 + 0$

Этап 2.4.2

Добавим $6 x + 2$ и $0$ .

$f'' (x) = 6 x + 2$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$3 x^{2} + 2 x - 8 = 0$

Этап 4

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1.1

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Этап 4.1.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Этап 4.1.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$3 x^{2} + 2 x + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Этап 4.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 8 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Поскольку $- 8$ является константой относительно $x$ , производная $- 8 x$ по $x$ равна $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} + 2 x - 8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

Этап 4.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$3 x^{2} + 2 x - 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5]$

Этап 4.1.2.3

Умножим $- 8$ на $1$ .

$3 x^{2} + 2 x - 8 + \frac{d}{d x} [5]$

Этап 4.1.3

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5$ относительно $x$ равна $0$ .

$3 x^{2} + 2 x - 8 + 0$

Этап 4.1.3.2

Добавим $3 x^{2} + 2 x - 8$ и $0$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + 2 x - 8$

Этап 4.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $3 x^{2} + 2 x - 8$ .

$3 x^{2} + 2 x - 8$

Этап 5

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $3 x^{2} + 2 x - 8 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$3 x^{2} + 2 x - 8 = 0$

Этап 5.2

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 3 \cdot - 8 = - 24$ , а сумма — $b = 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x$ .

$3 x^{2} + 2 (x) - 8 = 0$

Этап 5.2.1.2

Запишем $2$ как $- 4$ плюс $6$

$3 x^{2} + (- 4 + 6) x - 8 = 0$

Этап 5.2.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$3 x^{2} - 4 x + 6 x - 8 = 0$

Этап 5.2.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(3 x^{2} - 4 x) + 6 x - 8 = 0$

Этап 5.2.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$x (3 x - 4) + 2 (3 x - 4) = 0$

Этап 5.2.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $3 x - 4$ .

$(3 x - 4) (x + 2) = 0$

Этап 5.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$3 x - 4 = 0$

$x + 2 = 0$

Этап 5.4

Приравняем $3 x - 4$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Приравняем $3 x - 4$ к $0$ .

$3 x - 4 = 0$

Этап 5.4.2

Решим $3 x - 4 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$3 x = 4$

Этап 5.4.2.2

Разделим каждый член $3 x = 4$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.2.1

Разделим каждый член $3 x = 4$ на $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{4}{3}$

Этап 5.4.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.2.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x}{3} = \frac{4}{3}$

Этап 5.4.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{4}{3}$

Этап 5.5

Приравняем $x + 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Приравняем $x + 2$ к $0$ .

$x + 2 = 0$

Этап 5.5.2

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$x = - 2$

Этап 5.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $(3 x - 4) (x + 2) = 0$ верно.

$x = \frac{4}{3}, - 2$

Этап 6

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 7

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = \frac{4}{3}, - 2$

Этап 8

Найдем вторую производную в $x = \frac{4}{3}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$6 (\frac{4}{3}) + 2$

Этап 9

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1.1

Вынесем множитель $3$ из $6$ .

$3 (2) \frac{4}{3} + 2$

Этап 9.1.1.2

Сократим общий множитель.

$3 \cdot 2 \frac{4}{3} + 2$

Этап 9.1.1.3

Перепишем это выражение.

$2 \cdot 4 + 2$

Этап 9.1.2

Умножим $2$ на $4$ .

$8 + 2$

Этап 9.2

Добавим $8$ и $2$ .

$10$

Этап 10

$x = \frac{4}{3}$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = \frac{4}{3}$ — локальный минимум

Этап 11

Найдем значение y, если $x = \frac{4}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{4}{3}$ .

$f (\frac{4}{3}) = {(\frac{4}{3})}^{3} + {(\frac{4}{3})}^{2} - 8 (\frac{4}{3}) + 5$

Этап 11.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.1

Применим правило умножения к $\frac{4}{3}$ .

$f (\frac{4}{3}) = \frac{4^{3}}{3^{3}} + {(\frac{4}{3})}^{2} - 8 (\frac{4}{3}) + 5$

Этап 11.2.1.2

Возведем $4$ в степень $3$ .

$f (\frac{4}{3}) = \frac{64}{3^{3}} + {(\frac{4}{3})}^{2} - 8 (\frac{4}{3}) + 5$

Этап 11.2.1.3

Возведем $3$ в степень $3$ .

$f (\frac{4}{3}) = \frac{64}{27} + {(\frac{4}{3})}^{2} - 8 (\frac{4}{3}) + 5$

Этап 11.2.1.4

Применим правило умножения к $\frac{4}{3}$ .

$f (\frac{4}{3}) = \frac{64}{27} + \frac{4^{2}}{3^{2}} - 8 (\frac{4}{3}) + 5$

Этап 11.2.1.5

Возведем $4$ в степень $2$ .

$f (\frac{4}{3}) = \frac{64}{27} + \frac{16}{3^{2}} - 8 (\frac{4}{3}) + 5$

Этап 11.2.1.6

Возведем $3$ в степень $2$ .

$f (\frac{4}{3}) = \frac{64}{27} + \frac{16}{9} - 8 (\frac{4}{3}) + 5$

Этап 11.2.1.7

Умножим $- 8 (\frac{4}{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.7.1

Объединим $- 8$ и $\frac{4}{3}$ .

$f (\frac{4}{3}) = \frac{64}{27} + \frac{16}{9} + \frac{- 8 \cdot 4}{3} + 5$

Этап 11.2.1.7.2

Умножим $- 8$ на $4$ .

$f (\frac{4}{3}) = \frac{64}{27} + \frac{16}{9} + \frac{- 32}{3} + 5$

Этап 11.2.1.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (\frac{4}{3}) = \frac{64}{27} + \frac{16}{9} - \frac{32}{3} + 5$

Этап 11.2.2

Найдем общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.2.1

Умножим $\frac{16}{9}$ на $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{4}{3}) = \frac{64}{27} + \frac{16}{9} \cdot \frac{3}{3} - \frac{32}{3} + 5$

Этап 11.2.2.2

Умножим $\frac{16}{9}$ на $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{4}{3}) = \frac{64}{27} + \frac{16 \cdot 3}{9 \cdot 3} - \frac{32}{3} + 5$

Этап 11.2.2.3

Умножим $\frac{32}{3}$ на $\frac{9}{9}$ .

$f (\frac{4}{3}) = \frac{64}{27} + \frac{16 \cdot 3}{9 \cdot 3} - (\frac{32}{3} \cdot \frac{9}{9}) + 5$

Этап 11.2.2.4

Умножим $\frac{32}{3}$ на $\frac{9}{9}$ .

$f (\frac{4}{3}) = \frac{64}{27} + \frac{16 \cdot 3}{9 \cdot 3} - \frac{32 \cdot 9}{3 \cdot 9} + 5$

Этап 11.2.2.5

Запишем $5$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$f (\frac{4}{3}) = \frac{64}{27} + \frac{16 \cdot 3}{9 \cdot 3} - \frac{32 \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{5}{1}$

Этап 11.2.2.6

Умножим $\frac{5}{1}$ на $\frac{27}{27}$ .

$f (\frac{4}{3}) = \frac{64}{27} + \frac{16 \cdot 3}{9 \cdot 3} - \frac{32 \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{5}{1} \cdot \frac{27}{27}$

Этап 11.2.2.7

Умножим $\frac{5}{1}$ на $\frac{27}{27}$ .

$f (\frac{4}{3}) = \frac{64}{27} + \frac{16 \cdot 3}{9 \cdot 3} - \frac{32 \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{5 \cdot 27}{27}$

Этап 11.2.2.8

Изменим порядок множителей в $9 \cdot 3$ .

$f (\frac{4}{3}) = \frac{64}{27} + \frac{16 \cdot 3}{3 \cdot 9} - \frac{32 \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{5 \cdot 27}{27}$

Этап 11.2.2.9

Умножим $3$ на $9$ .

$f (\frac{4}{3}) = \frac{64}{27} + \frac{16 \cdot 3}{27} - \frac{32 \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{5 \cdot 27}{27}$

Этап 11.2.2.10

Умножим $3$ на $9$ .

$f (\frac{4}{3}) = \frac{64}{27} + \frac{16 \cdot 3}{27} - \frac{32 \cdot 9}{27} + \frac{5 \cdot 27}{27}$

Этап 11.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{4}{3}) = \frac{64 + 16 \cdot 3 - 32 \cdot 9 + 5 \cdot 27}{27}$

Этап 11.2.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.4.1

Умножим $16$ на $3$ .

$f (\frac{4}{3}) = \frac{64 + 48 - 32 \cdot 9 + 5 \cdot 27}{27}$

Этап 11.2.4.2

Умножим $- 32$ на $9$ .

$f (\frac{4}{3}) = \frac{64 + 48 - 288 + 5 \cdot 27}{27}$

Этап 11.2.4.3

Умножим $5$ на $27$ .

$f (\frac{4}{3}) = \frac{64 + 48 - 288 + 135}{27}$

Этап 11.2.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.5.1

Добавим $64$ и $48$ .

$f (\frac{4}{3}) = \frac{112 - 288 + 135}{27}$

Этап 11.2.5.2

Вычтем $288$ из $112$ .

$f (\frac{4}{3}) = \frac{- 176 + 135}{27}$

Этап 11.2.5.3

Добавим $- 176$ и $135$ .

$f (\frac{4}{3}) = \frac{- 41}{27}$

Этап 11.2.5.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (\frac{4}{3}) = - \frac{41}{27}$

Этап 11.2.6

Окончательный ответ: $- \frac{41}{27}$ .

$y = - \frac{41}{27}$

Этап 12

Найдем вторую производную в $x = - 2$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$6 (- 2) + 2$

Этап 13

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Умножим $6$ на $- 2$ .

$- 12 + 2$

Этап 13.2

Добавим $- 12$ и $2$ .

$- 10$

Этап 14

$x = - 2$ — локальный максимум, так как вторая производная отрицательная. Это называется тестом второй производной.

$x = - 2$ — локальный максимум

Этап 15

Найдем значение y, если $x = - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 2$ .

$f (- 2) = {(- 2)}^{3} + {(- 2)}^{2} - 8 \cdot - 2 + 5$

Этап 15.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.1

Возведем $- 2$ в степень $3$ .

$f (- 2) = - 8 + {(- 2)}^{2} - 8 \cdot - 2 + 5$

Этап 15.2.1.2

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$f (- 2) = - 8 + 4 - 8 \cdot - 2 + 5$

Этап 15.2.1.3

Умножим $- 8$ на $- 2$ .

$f (- 2) = - 8 + 4 + 16 + 5$

Этап 15.2.2

Упростим путем добавления чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.2.1

Добавим $- 8$ и $4$ .

$f (- 2) = - 4 + 16 + 5$

Этап 15.2.2.2

Добавим $- 4$ и $16$ .

$f (- 2) = 12 + 5$

Этап 15.2.2.3

Добавим $12$ и $5$ .

$f (- 2) = 17$

Этап 15.2.3

Окончательный ответ: $17$ .

$y = 17$

Этап 16

Это локальные экстремумы $f (x) = x^{3} + x^{2} - 8 x + 5$ .

$(\frac{4}{3}, - \frac{41}{27})$ — локальный минимум

$(- 2, 17)$ — локальный максимум

Этап 17