Математический анализ Примеры

$\int (\sqrt{x^{4}} - \sqrt[5]{x^{8}}) d x$

Этап 1

Избавимся от скобок.

$\int \sqrt{x^{4}} - \sqrt[5]{x^{8}} d x$

Этап 2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int \sqrt{x^{4}} d x + \int - \sqrt[5]{x^{8}} d x$

Этап 3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x^{4}}$ в виде $x^{\frac{4}{2}}$ .

$\int x^{\frac{4}{2}} d x + \int - \sqrt[5]{x^{8}} d x$

Этап 3.2

Разделим $4$ на $2$ .

$\int x^{2} d x + \int - \sqrt[5]{x^{8}} d x$

Этап 4

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C + \int - \sqrt[5]{x^{8}} d x$

Этап 5

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{3} x^{3} + C - \int \sqrt[5]{x^{8}} d x$

Этап 6

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[5]{x^{8}}$ в виде $x^{\frac{8}{5}}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C - \int x^{\frac{8}{5}} d x$

Этап 7

По правилу степени интеграл $x^{\frac{8}{5}}$ по $x$ имеет вид $\frac{5}{13} x^{\frac{13}{5}}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C - (\frac{5}{13} x^{\frac{13}{5}} + C)$

Этап 8

Упростим.

$\frac{1}{3} x^{3} - \frac{5}{13} x^{\frac{13}{5}} + C$