Математический анализ Примеры

$y^{3} + 4 x^{2} + 1 = - 5 x - 3 y$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (y^{3} + 4 x^{2} + 1) = \frac{d}{d x} (- 5 x - 3 y)$

Этап 2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $y^{3} + 4 x^{2} + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{3}$ и $g (x) = y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 2.2.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$3 u^{2} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 2.2.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $y$ .

$3 y^{2} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 2.2.2

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$3 y^{2} y' + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x^{2}$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 y^{2} y' + 4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$3 y^{2} y' + 4 (2 x) + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 2.3.3

Умножим $2$ на $4$ .

$3 y^{2} y' + 8 x + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 2.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$3 y^{2} y' + 8 x + 0$

Этап 2.4.2

Добавим $3 y^{2} y' + 8 x$ и $0$ .

$3 y^{2} y' + 8 x$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $- 5 x - 3 y$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [- 3 y]$ .

$\frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [- 3 y]$

Этап 3.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Поскольку $- 5$ является константой относительно $x$ , производная $- 5 x$ по $x$ равна $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3 y]$

Этап 3.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3 y]$

Этап 3.2.3

Умножим $- 5$ на $1$ .

$- 5 + \frac{d}{d x} [- 3 y]$

Этап 3.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 3 y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3 y$ по $x$ равна $- 3 \frac{d}{d x} [y]$ .

$- 5 - 3 \frac{d}{d x} [y]$

Этап 3.3.2

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$- 5 - 3 y'$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$3 y^{2} y' + 8 x = - 5 - 3 y'$

Этап 5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Добавим $3 y'$ к обеим частям уравнения.

$3 y^{2} y' + 8 x + 3 y' = - 5$

Этап 5.2

Вычтем $8 x$ из обеих частей уравнения.

$3 y^{2} y' + 3 y' = - 5 - 8 x$

Этап 5.3

Вынесем множитель $3 y'$ из $3 y^{2} y' + 3 y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Вынесем множитель $3 y'$ из $3 y^{2} y'$ .

$3 y' y^{2} + 3 y' = - 5 - 8 x$

Этап 5.3.2

Вынесем множитель $3 y'$ из $3 y'$ .

$3 y' y^{2} + 3 y' \cdot 1 = - 5 - 8 x$

Этап 5.3.3

Вынесем множитель $3 y'$ из $3 y' y^{2} + 3 y' \cdot 1$ .

$3 y' (y^{2} + 1) = - 5 - 8 x$

Этап 5.4

Разделим каждый член $3 y' (y^{2} + 1) = - 5 - 8 x$ на $3 (y^{2} + 1)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Разделим каждый член $3 y' (y^{2} + 1) = - 5 - 8 x$ на $3 (y^{2} + 1)$ .

$\frac{3 y' (y^{2} + 1)}{3 (y^{2} + 1)} = \frac{- 5}{3 (y^{2} + 1)} + \frac{- 8 x}{3 (y^{2} + 1)}$

Этап 5.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 y' (y^{2} + 1)}{3 (y^{2} + 1)} = \frac{- 5}{3 (y^{2} + 1)} + \frac{- 8 x}{3 (y^{2} + 1)}$

Этап 5.4.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{y' (y^{2} + 1)}{y^{2} + 1} = \frac{- 5}{3 (y^{2} + 1)} + \frac{- 8 x}{3 (y^{2} + 1)}$

Этап 5.4.2.2

Сократим общий множитель $y^{2} + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y' (y^{2} + 1)}{y^{2} + 1} = \frac{- 5}{3 (y^{2} + 1)} + \frac{- 8 x}{3 (y^{2} + 1)}$

Этап 5.4.2.2.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{- 5}{3 (y^{2} + 1)} + \frac{- 8 x}{3 (y^{2} + 1)}$

Этап 5.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.1.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = - \frac{5}{3 (y^{2} + 1)} + \frac{- 8 x}{3 (y^{2} + 1)}$

Этап 5.4.3.1.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = - \frac{5}{3 (y^{2} + 1)} - \frac{8 x}{3 (y^{2} + 1)}$

Этап 6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{5}{3 (y^{2} + 1)} - \frac{8 x}{3 (y^{2} + 1)}$