Математический анализ Примеры

Поскольку ${\displaystyle \frac{5}{8}}$ является константой относительно ${\displaystyle x}$, производная ${\displaystyle \frac{5}{8}{x}^{-2}}$ по ${\displaystyle x}$ равна ${\displaystyle \frac{5}{8}\frac{d}{dx}\left[x^{-2}\right]}$.

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[x^n\right]}$ имеет вид ${\displaystyle n{x}^{n-1}}$, где ${\displaystyle n=-2}$.

Объединим ${\displaystyle -2}$ и ${\displaystyle \frac{5}{8}}$.

Умножим ${\displaystyle -2}$ на ${\displaystyle 5}$.

Объединим ${\displaystyle \frac{-10}{8}}$ и ${\displaystyle x^{-3}}$.

Перенесем ${\displaystyle x^{-3}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней ${\displaystyle b^{-n}=\frac{1}{b^n}}$.

Сократим общий множитель ${\displaystyle -10}$ и ${\displaystyle 8}$.

Вынесем знак минуса перед дробью.

Поскольку ${\displaystyle \frac{4}{3}}$ является константой относительно ${\displaystyle x}$, производная ${\displaystyle \frac{4}{3}{x}^3}$ по ${\displaystyle x}$ равна ${\displaystyle \frac{4}{3}\frac{d}{dx}\left[x^3\right]}$.

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[x^n\right]}$ имеет вид ${\displaystyle n{x}^{n-1}}$, где ${\displaystyle n=3}$.

Объединим ${\displaystyle 3}$ и ${\displaystyle \frac{4}{3}}$.

Умножим ${\displaystyle 3}$ на ${\displaystyle 4}$.

Объединим ${\displaystyle \frac{12}{3}}$ и ${\displaystyle x^2}$.

Сократим общий множитель ${\displaystyle 12}$ и ${\displaystyle 3}$.

Поскольку ${\displaystyle \frac{2}{3}}$ является константой относительно ${\displaystyle x}$, производная ${\displaystyle \frac{2}{3}{x}^4}$ по ${\displaystyle x}$ равна ${\displaystyle \frac{2}{3}\frac{d}{dx}\left[x^4\right]}$.

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[x^n\right]}$ имеет вид ${\displaystyle n{x}^{n-1}}$, где ${\displaystyle n=4}$.

Объединим ${\displaystyle 4}$ и ${\displaystyle \frac{2}{3}}$.

Умножим ${\displaystyle 4}$ на ${\displaystyle 2}$.

Объединим ${\displaystyle \frac{8}{3}}$ и ${\displaystyle x^3}$.

Поскольку ${\displaystyle \frac{1}{10}}$ является константой относительно ${\displaystyle x}$, производная ${\displaystyle \frac{1}{10}{x}^{-3}}$ по ${\displaystyle x}$ равна ${\displaystyle \frac{1}{10}\frac{d}{dx}\left[x^{-3}\right]}$.

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[x^n\right]}$ имеет вид ${\displaystyle n{x}^{n-1}}$, где ${\displaystyle n=-3}$.

Объединим ${\displaystyle -3}$ и ${\displaystyle \frac{1}{10}}$.

Объединим ${\displaystyle \frac{-3}{10}}$ и ${\displaystyle x^{-4}}$.

Перенесем ${\displaystyle x^{-4}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней ${\displaystyle b^{-n}=\frac{1}{b^n}}$.

Вынесем знак минуса перед дробью.

Поскольку ${\displaystyle \frac{8}{3}}$ является константой относительно ${\displaystyle x}$, производная ${\displaystyle \frac{8x^3}{3}}$ по ${\displaystyle x}$ равна ${\displaystyle \frac{8}{3}\frac{d}{dx}\left[x^3\right]}$.

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[x^n\right]}$ имеет вид ${\displaystyle n{x}^{n-1}}$, где ${\displaystyle n=3}$.

Объединим ${\displaystyle 3}$ и ${\displaystyle \frac{8}{3}}$.

Умножим ${\displaystyle 3}$ на ${\displaystyle 8}$.

Объединим ${\displaystyle \frac{24}{3}}$ и ${\displaystyle x^2}$.

Сократим общий множитель ${\displaystyle 24}$ и ${\displaystyle 3}$.

Поскольку ${\displaystyle 4}$ является константой относительно ${\displaystyle x}$, производная ${\displaystyle 4x^2}$ по ${\displaystyle x}$ равна ${\displaystyle 4\frac{d}{dx}\left[x^2\right]}$.

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[x^n\right]}$ имеет вид ${\displaystyle n{x}^{n-1}}$, где ${\displaystyle n=2}$.

Умножим ${\displaystyle 2}$ на ${\displaystyle 4}$.

Поскольку ${\displaystyle -\frac{5}{4}}$ является константой относительно ${\displaystyle x}$, производная ${\displaystyle -\frac{5}{4x^3}}$ по ${\displaystyle x}$ равна ${\displaystyle -\frac{5}{4}\frac{d}{dx}\left[\frac{1}{x^3}\right]}$.

Перепишем ${\displaystyle \frac{1}{x^3}}$ в виде ${\displaystyle {\left(x^3\right)}^{-1}}$.

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[f\left(g\left(x\right)\right)\right]}$ имеет вид ${\displaystyle f\prime \left(g\left(x\right)\right)g\prime \left(x\right)}$, где ${\displaystyle f\left(x\right)=x^{-1}}$ и ${\displaystyle g\left(x\right)=x^3}$.

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[x^n\right]}$ имеет вид ${\displaystyle n{x}^{n-1}}$, где ${\displaystyle n=3}$.

Перемножим экспоненты в ${\displaystyle {\left(x^3\right)}^{-2}}$.

Умножим ${\displaystyle 3}$ на ${\displaystyle -1}$.

Умножим ${\displaystyle x^{-6}}$ на ${\displaystyle x^2}$, сложив экспоненты.

Умножим ${\displaystyle -3}$ на ${\displaystyle -1}$.

Объединим ${\displaystyle 3}$ и ${\displaystyle \frac{5}{4}}$.

Умножим ${\displaystyle 3}$ на ${\displaystyle 5}$.

Объединим ${\displaystyle \frac{15}{4}}$ и ${\displaystyle x^{-4}}$.

Перенесем ${\displaystyle x^{-4}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней ${\displaystyle b^{-n}=\frac{1}{b^n}}$.

Поскольку ${\displaystyle -\frac{3}{10}}$ является константой относительно ${\displaystyle x}$, производная ${\displaystyle -\frac{3}{10x^4}}$ по ${\displaystyle x}$ равна ${\displaystyle -\frac{3}{10}\frac{d}{dx}\left[\frac{1}{x^4}\right]}$.

Перепишем ${\displaystyle \frac{1}{x^4}}$ в виде ${\displaystyle {\left(x^4\right)}^{-1}}$.

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[f\left(g\left(x\right)\right)\right]}$ имеет вид ${\displaystyle f\prime \left(g\left(x\right)\right)g\prime \left(x\right)}$, где ${\displaystyle f\left(x\right)=x^{-1}}$ и ${\displaystyle g\left(x\right)=x^4}$.

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[x^n\right]}$ имеет вид ${\displaystyle n{x}^{n-1}}$, где ${\displaystyle n=4}$.