Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (3 x) - 1}{e^{- x} - 1}$

Этап 1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to 0} \cos (3 x) - 1}{lim_{x \to 0} e^{- x} - 1}$

Этап 1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} \cos (3 x) - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} e^{- x} - 1}$

Этап 1.2.1.2

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.

$\frac{\cos (lim_{x \to 0} 3 x) - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} e^{- x} - 1}$

Этап 1.2.1.3

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{\cos (3 lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} e^{- x} - 1}$

Этап 1.2.1.4

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$\frac{\cos (3 lim_{x \to 0} x) - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} e^{- x} - 1}$

Этап 1.2.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{\cos (3 \cdot 0) - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} e^{- x} - 1}$

Этап 1.2.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1.1

Умножим $3$ на $0$ .

$\frac{\cos (0) - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} e^{- x} - 1}$

Этап 1.2.3.1.2

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} e^{- x} - 1}$

Этап 1.2.3.1.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to 0} e^{- x} - 1}$

Этап 1.2.3.2

Вычтем $1$ из $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} e^{- x} - 1}$

Этап 1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} e^{- x} - lim_{x \to 0} 1}$

Этап 1.3.2

Внесем предел под знак экспоненты.

$\frac{0}{e^{lim_{x \to 0} - x} - lim_{x \to 0} 1}$

Этап 1.3.3

Вынесем член $- 1$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{0}{e^{- lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} 1}$

Этап 1.3.4

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$\frac{0}{e^{- lim_{x \to 0} x} - 1 \cdot 1}$

Этап 1.3.5

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.5.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{0}{e^{0} - 1 \cdot 1}$

Этап 1.3.5.2

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.5.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.5.2.1.1

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

Этап 1.3.5.2.1.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{0}{1 - 1}$

Этап 1.3.5.2.2

Вычтем $1$ из $1$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 1.3.5.2.3

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.3.5.3

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.3.6

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (3 x) - 1}{e^{- x} - 1} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (3 x) - 1]}{\frac{d}{d x} [e^{- x} - 1]}$

Этап 3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (3 x) - 1]}{\frac{d}{d x} [e^{- x} - 1]}$

Этап 3.2

По правилу суммы производная $\cos (3 x) - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\cos (3 x)] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (3 x)] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [e^{- x} - 1]}$

Этап 3.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\cos (3 x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \cos (x)$ и $g (x) = 3 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $3 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [e^{- x} - 1]}$

Этап 3.3.1.2

Производная $\cos (u)$ по $u$ равна $- \sin (u)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (u) \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [e^{- x} - 1]}$

Этап 3.3.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $3 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (3 x) \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [e^{- x} - 1]}$

Этап 3.3.2

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [e^{- x} - 1]}$

Этап 3.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (3 x) (3 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [e^{- x} - 1]}$

Этап 3.3.4

Умножим $3$ на $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (3 x) \cdot 3 + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [e^{- x} - 1]}$

Этап 3.3.5

Умножим $3$ на $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 3 \sin (3 x) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [e^{- x} - 1]}$

Этап 3.4

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 3 \sin (3 x) + 0}{\frac{d}{d x} [e^{- x} - 1]}$

Этап 3.5

Добавим $- 3 \sin (3 x)$ и $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 3 \sin (3 x)}{\frac{d}{d x} [e^{- x} - 1]}$

Этап 3.6

По правилу суммы производная $e^{- x} - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [e^{- x}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 3 \sin (3 x)}{\frac{d}{d x} [e^{- x}] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Этап 3.7

Найдем значение $\frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $- x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 3 \sin (3 x)}{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Этап 3.7.1.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ имеет вид $a^{u} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 3 \sin (3 x)}{e^{u} \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Этап 3.7.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $- x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 3 \sin (3 x)}{e^{- x} \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Этап 3.7.2

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 3 \sin (3 x)}{e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Этап 3.7.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 3 \sin (3 x)}{e^{- x} (- 1 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Этап 3.7.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 3 \sin (3 x)}{e^{- x} \cdot - 1 + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Этап 3.7.5

Перенесем $- 1$ влево от $e^{- x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 3 \sin (3 x)}{- 1 e^{- x} + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Этап 3.7.6

Перепишем $- 1 e^{- x}$ в виде $- e^{- x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 3 \sin (3 x)}{- e^{- x} + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Этап 3.8

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 3 \sin (3 x)}{- e^{- x} + 0}$

Этап 3.9

Добавим $- e^{- x}$ и $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 3 \sin (3 x)}{- e^{- x}}$

Этап 4

Вынесем член $- 3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$- 3 lim_{x \to 0} \frac{\sin (3 x)}{- e^{- x}}$

Этап 5

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$- 3 \frac{lim_{x \to 0} \sin (3 x)}{lim_{x \to 0} - e^{- x}}$

Этап 6

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.

$- 3 \frac{\sin (lim_{x \to 0} 3 x)}{lim_{x \to 0} - e^{- x}}$

Этап 7

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$- 3 \frac{\sin (3 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} - e^{- x}}$

Этап 8

Вынесем член $- 1$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$- 3 \frac{\sin (3 lim_{x \to 0} x)}{- lim_{x \to 0} e^{- x}}$

Этап 9

Внесем предел под знак экспоненты.

$- 3 \frac{\sin (3 lim_{x \to 0} x)}{- e^{lim_{x \to 0} - x}}$

Этап 10

Вынесем член $- 1$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$- 3 \frac{\sin (3 lim_{x \to 0} x)}{- e^{- lim_{x \to 0} x}}$

Этап 11

Найдем значения пределов, подставив значение $0$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$- 3 \frac{\sin (3 \cdot 0)}{- e^{- lim_{x \to 0} x}}$

Этап 11.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$- 3 \frac{\sin (3 \cdot 0)}{- e^{0}}$

Этап 12

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1

Умножим $3$ на $0$ .

$- 3 \frac{\sin (0)}{- e^{0}}$

Этап 12.1.2

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$- 3 \frac{0}{- e^{0}}$

Этап 12.2

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$- 3 \frac{0}{- 1 \cdot 1}$

Этап 12.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- 3 (\frac{0}{- 1})$

Этап 12.4

Разделим $0$ на $- 1$ .

$- 3 \cdot 0$

Этап 12.5

Умножим $- 3$ на $0$ .

$0$