Математический анализ Примеры

$f (x) = \arctan (x^{2})$

Этап 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \arctan (x)$ и $g (x) = x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (\arctan (u)) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Этап 1.1.1.1.2

Производная $\arctan (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$f' (x) = \frac{1}{1 + u^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2})$

Этап 1.1.1.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{1}{1 + {(x^{2})}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2})$

Этап 1.1.1.2

Продифференцируем, используя правило степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.2.1

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.2.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (x) = \frac{1}{1 + x^{2 \cdot 2}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2})$

Этап 1.1.1.2.1.2

Умножим $2$ на $2$ .

$f' (x) = \frac{1}{1 + x^{4}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2})$

Этап 1.1.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{1}{1 + x^{4}} \cdot (2 x)$

Этап 1.1.1.2.3

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.2.3.1

Объединим $2$ и $\frac{1}{1 + x^{4}}$ .

$f' (x) = \frac{2}{1 + x^{4}} \cdot x$

Этап 1.1.1.2.3.2

Объединим $\frac{2}{1 + x^{4}}$ и $x$ .

$f' (x) = \frac{2 x}{1 + x^{4}}$

Этап 1.1.1.2.3.3

Изменим порядок членов.

$f' (x) = \frac{2 x}{x^{4} + 1}$

Этап 1.1.2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{2 x}{x^{4} + 1}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{4} + 1}]$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (\frac{x}{x^{4} + 1})$

Этап 1.1.2.2

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = x^{4} + 1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{(x^{4} + 1) \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} (x^{4} + 1)}{{(x^{4} + 1)}^{2}})$

Этап 1.1.2.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{(x^{4} + 1) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} (x^{4} + 1)}{{(x^{4} + 1)}^{2}})$

Этап 1.1.2.3.2

Умножим $x^{4} + 1$ на $1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{4} + 1 - x \frac{d}{d x} (x^{4} + 1)}{{(x^{4} + 1)}^{2}})$

Этап 1.1.2.3.3

По правилу суммы производная $x^{4} + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{4} + 1 - x (\frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (1))}{{(x^{4} + 1)}^{2}})$

Этап 1.1.2.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{4} + 1 - x (4 x^{3} + \frac{d}{d x} (1))}{{(x^{4} + 1)}^{2}})$

Этап 1.1.2.3.5

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{4} + 1 - x (4 x^{3} + 0)}{{(x^{4} + 1)}^{2}})$

Этап 1.1.2.3.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.6.1

Добавим $4 x^{3}$ и $0$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{4} + 1 - x (4 x^{3})}{{(x^{4} + 1)}^{2}})$

Этап 1.1.2.3.6.2

Умножим $4$ на $- 1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{4} + 1 - 4 x \cdot x^{3}}{{(x^{4} + 1)}^{2}})$

Этап 1.1.2.4

Умножим $x$ на $x^{3}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.4.1

Перенесем $x^{3}$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{4} + 1 - 4 (x^{3} x)}{{(x^{4} + 1)}^{2}})$

Этап 1.1.2.4.2

Умножим $x^{3}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.4.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{4} + 1 - 4 (x^{3} x)}{{(x^{4} + 1)}^{2}})$

Этап 1.1.2.4.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{4} + 1 - 4 x^{3 + 1}}{{(x^{4} + 1)}^{2}})$

Этап 1.1.2.4.3

Добавим $3$ и $1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{4} + 1 - 4 x^{4}}{{(x^{4} + 1)}^{2}})$

Этап 1.1.2.5

Вычтем $4 x^{4}$ из $x^{4}$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{- 3 x^{4} + 1}{{(x^{4} + 1)}^{2}})$

Этап 1.1.2.6

Объединим $2$ и $\frac{- 3 x^{4} + 1}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- 3 x^{4} + 1)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Этап 1.1.2.7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.7.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{2 (- 3 x^{4}) + 2 \cdot 1}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Этап 1.1.2.7.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.7.2.1

Умножим $- 3$ на $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 6 x^{4} + 2 \cdot 1}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Этап 1.1.2.7.2.2

Умножим $2$ на $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 6 x^{4} + 2}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Этап 1.1.2.7.3

Вынесем множитель $2$ из $- 6 x^{4} + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.7.3.1

Вынесем множитель $2$ из $- 6 x^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- 3 x^{4}) + 2}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Этап 1.1.2.7.3.2

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- 3 x^{4}) + 2 (1)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Этап 1.1.2.7.3.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (- 3 x^{4}) + 2 (1)$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- 3 x^{4} + 1)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Этап 1.1.2.7.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- 3 x^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- (3 x^{4}) + 1)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Этап 1.1.2.7.5

Перепишем $1$ в виде $- 1 (- 1)$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- (3 x^{4}) - 1 \cdot - 1)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Этап 1.1.2.7.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- (3 x^{4}) - 1 (- 1)$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- (3 x^{4} - 1))}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Этап 1.1.2.7.7

Перепишем $- (3 x^{4} - 1)$ в виде $- 1 (3 x^{4} - 1)$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- 1 (3 x^{4} - 1))}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Этап 1.1.2.7.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (x) = - \frac{2 (3 x^{4} - 1)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Этап 1.1.3

Вторая производная $f (x)$ по $x$ равна $- \frac{2 (3 x^{4} - 1)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$ .

$- \frac{2 (3 x^{4} - 1)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Этап 1.2

Приравняем вторую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $- \frac{2 (3 x^{4} - 1)}{{(x^{4} + 1)}^{2}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Пусть вторая производная равна $0$ .

$- \frac{2 (3 x^{4} - 1)}{{(x^{4} + 1)}^{2}} = 0$

Этап 1.2.2

Приравняем числитель к нулю.

$2 (3 x^{4} - 1) = 0$

Этап 1.2.3

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Разделим каждый член $2 (3 x^{4} - 1) = 0$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1.1

Разделим каждый член $2 (3 x^{4} - 1) = 0$ на $2$ .

$\frac{2 (3 x^{4} - 1)}{2} = \frac{0}{2}$

Этап 1.2.3.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (3 x^{4} - 1)}{2} = \frac{0}{2}$

Этап 1.2.3.1.2.1.2

Разделим $3 x^{4} - 1$ на $1$ .

$3 x^{4} - 1 = \frac{0}{2}$

Этап 1.2.3.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1.3.1

Разделим $0$ на $2$ .

$3 x^{4} - 1 = 0$

Этап 1.2.3.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$3 x^{4} = 1$

Этап 1.2.3.3

Разделим каждый член $3 x^{4} = 1$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.3.1

Разделим каждый член $3 x^{4} = 1$ на $3$ .

$\frac{3 x^{4}}{3} = \frac{1}{3}$

Этап 1.2.3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.3.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x^{4}}{3} = \frac{1}{3}$

Этап 1.2.3.3.2.1.2

Разделим $x^{4}$ на $1$ .

$x^{4} = \frac{1}{3}$

Этап 1.2.3.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt[4]{\frac{1}{3}}$

Этап 1.2.3.5

Упростим $\pm \sqrt[4]{\frac{1}{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.5.1

Перепишем $\sqrt[4]{\frac{1}{3}}$ в виде $\frac{\sqrt[4]{1}}{\sqrt[4]{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt[4]{1}}{\sqrt[4]{3}}$

Этап 1.2.3.5.2

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt[4]{3}}$

Этап 1.2.3.5.3

Умножим $\frac{1}{\sqrt[4]{3}}$ на $\frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{{\sqrt[4]{3}}^{3}}$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt[4]{3}} \cdot \frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{{\sqrt[4]{3}}^{3}}$

Этап 1.2.3.5.4

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.5.4.1

Умножим $\frac{1}{\sqrt[4]{3}}$ на $\frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{{\sqrt[4]{3}}^{3}}$ .

$x = \pm \frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{\sqrt[4]{3} {\sqrt[4]{3}}^{3}}$

Этап 1.2.3.5.4.2

Возведем $\sqrt[4]{3}$ в степень $1$ .

$x = \pm \frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{{\sqrt[4]{3}}^{1} {\sqrt[4]{3}}^{3}}$

Этап 1.2.3.5.4.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x = \pm \frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{{\sqrt[4]{3}}^{1 + 3}}$

Этап 1.2.3.5.4.4

Добавим $1$ и $3$ .

$x = \pm \frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{{\sqrt[4]{3}}^{4}}$

Этап 1.2.3.5.4.5

Перепишем ${\sqrt[4]{3}}^{4}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.5.4.5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[4]{3}$ в виде $3^{\frac{1}{4}}$ .

$x = \pm \frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{{(3^{\frac{1}{4}})}^{4}}$

Этап 1.2.3.5.4.5.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{3^{\frac{1}{4} \cdot 4}}$

Этап 1.2.3.5.4.5.3

Объединим $\frac{1}{4}$ и $4$ .

$x = \pm \frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{3^{\frac{4}{4}}}$

Этап 1.2.3.5.4.5.4

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.5.4.5.4.1

Сократим общий множитель.

$x = \pm \frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{3^{\frac{4}{4}}}$

Этап 1.2.3.5.4.5.4.2

Перепишем это выражение.

$x = \pm \frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{3^{1}}$

Этап 1.2.3.5.4.5.5

Найдем экспоненту.

$x = \pm \frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{3}$

Этап 1.2.3.5.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.5.5.1

Перепишем ${\sqrt[4]{3}}^{3}$ в виде $\sqrt[4]{3^{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt[4]{3^{3}}}{3}$

Этап 1.2.3.5.5.2

Возведем $3$ в степень $3$ .

$x = \pm \frac{\sqrt[4]{27}}{3}$

Этап 1.2.3.6

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.6.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = \frac{\sqrt[4]{27}}{3}$

Этап 1.2.3.6.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - \frac{\sqrt[4]{27}}{3}$

Этап 1.2.3.6.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = \frac{\sqrt[4]{27}}{3}, - \frac{\sqrt[4]{27}}{3}$

Этап 2

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Интервальное представление:

$(- \infty, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \in ℝ}$

Этап 3

Создадим интервалы вокруг значений $x$ , в которых вторая производная равна нулю или не определена.

$(- \infty, - \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) \cup (- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}, \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) \cup (\frac{\sqrt[4]{27}}{3}, \infty)$

Этап 4

Подставим любое число из интервала $(- \infty, - \frac{\sqrt[4]{27}}{3})$ в выражение для второй производной и вычислим выпуклость.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 3$ .

$f'' (- 3) = - \frac{2 (3 {(- 3)}^{4} - 1)}{{({(- 3)}^{4} + 1)}^{2}}$

Этап 4.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Возведем $- 3$ в степень $4$ .

$f'' (- 3) = - \frac{2 (3 \cdot 81 - 1)}{{({(- 3)}^{4} + 1)}^{2}}$

Этап 4.2.1.2

Умножим $3$ на $81$ .

$f'' (- 3) = - \frac{2 (243 - 1)}{{({(- 3)}^{4} + 1)}^{2}}$

Этап 4.2.1.3

Вычтем $1$ из $243$ .

$f'' (- 3) = - \frac{2 \cdot 242}{{({(- 3)}^{4} + 1)}^{2}}$

Этап 4.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Возведем $- 3$ в степень $4$ .

$f'' (- 3) = - \frac{2 \cdot 242}{{(81 + 1)}^{2}}$

Этап 4.2.2.2

Добавим $81$ и $1$ .

$f'' (- 3) = - \frac{2 \cdot 242}{82^{2}}$

Этап 4.2.2.3

Возведем $82$ в степень $2$ .

$f'' (- 3) = - \frac{2 \cdot 242}{6724}$

Этап 4.2.3

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Умножим $2$ на $242$ .

$f'' (- 3) = - \frac{484}{6724}$

Этап 4.2.3.2

Сократим общий множитель $484$ и $6724$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.2.1

Вынесем множитель $4$ из $484$ .

$f'' (- 3) = - \frac{4 (121)}{6724}$

Этап 4.2.3.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.2.2.1

Вынесем множитель $4$ из $6724$ .

$f'' (- 3) = - \frac{4 \cdot 121}{4 \cdot 1681}$

Этап 4.2.3.2.2.2

Сократим общий множитель.

$f'' (- 3) = - \frac{4 \cdot 121}{4 \cdot 1681}$

Этап 4.2.3.2.2.3

Перепишем это выражение.

$f'' (- 3) = - \frac{121}{1681}$

Этап 4.2.4

Окончательный ответ: $- \frac{121}{1681}$ .

$- \frac{121}{1681}$

Этап 4.3

График вогнут вниз на интервале $(- \infty, - \frac{\sqrt[4]{27}}{3})$ , поскольку $f'' (- 3)$ имеет отрицательное значение.

Вогнутость вниз на интервале $(- \infty, - \frac{\sqrt[4]{27}}{3})$ , поскольку $f'' (x)$ меньше нуля

Этап 5

Подставим любое число из интервала $(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}, \frac{\sqrt[4]{27}}{3})$ в выражение для второй производной и вычислим выпуклость.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f'' (0) = - \frac{2 (3 {(0)}^{4} - 1)}{{({(0)}^{4} + 1)}^{2}}$

Этап 5.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f'' (0) = - \frac{2 (3 \cdot 0 - 1)}{{(0^{4} + 1)}^{2}}$

Этап 5.2.1.2

Умножим $3$ на $0$ .

$f'' (0) = - \frac{2 (0 - 1)}{{(0^{4} + 1)}^{2}}$

Этап 5.2.1.3

Вычтем $1$ из $0$ .

$f'' (0) = - \frac{2 \cdot - 1}{{(0^{4} + 1)}^{2}}$

Этап 5.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f'' (0) = - \frac{2 \cdot - 1}{{(0 + 1)}^{2}}$

Этап 5.2.2.2

Добавим $0$ и $1$ .

$f'' (0) = - \frac{2 \cdot - 1}{1^{2}}$

Этап 5.2.2.3

Единица в любой степени равна единице.

$f'' (0) = - \frac{2 \cdot - 1}{1}$

Этап 5.2.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f'' (0) = - \frac{- 2}{1}$

Этап 5.2.3.2

Разделим $- 2$ на $1$ .

$f'' (0) = 2$

Этап 5.2.3.3

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$f'' (0) = 2$

Этап 5.2.4

Окончательный ответ: $2$ .

$2$

Этап 5.3

График вогнут вверх на интервале $(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}, \frac{\sqrt[4]{27}}{3})$ , поскольку $f'' (0)$ имеет положительное значение.

Вогнутость вверх на интервале $(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}, \frac{\sqrt[4]{27}}{3})$ , поскольку $f'' (x)$ больше нуля

Этап 6

Подставим любое число из интервала $(\frac{\sqrt[4]{27}}{3}, \infty)$ в выражение для второй производной и вычислим выпуклость.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $3$ .

$f'' (3) = - \frac{2 (3 {(3)}^{4} - 1)}{{({(3)}^{4} + 1)}^{2}}$

Этап 6.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Умножим $3$ на ${(3)}^{4}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Умножим $3$ на ${(3)}^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1.1

Возведем $3$ в степень $1$ .

$f'' (3) = - \frac{2 (3 {(3)}^{4} - 1)}{{({(3)}^{4} + 1)}^{2}}$

Этап 6.2.1.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (3) = - \frac{2 (3^{1 + 4} - 1)}{{({(3)}^{4} + 1)}^{2}}$

Этап 6.2.1.2

Добавим $1$ и $4$ .

$f'' (3) = - \frac{2 (3^{5} - 1)}{{({(3)}^{4} + 1)}^{2}}$

Этап 6.2.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Возведем $3$ в степень $5$ .

$f'' (3) = - \frac{2 (243 - 1)}{{(3^{4} + 1)}^{2}}$

Этап 6.2.2.2

Вычтем $1$ из $243$ .

$f'' (3) = - \frac{2 \cdot 242}{{(3^{4} + 1)}^{2}}$

Этап 6.2.3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1

Возведем $3$ в степень $4$ .

$f'' (3) = - \frac{2 \cdot 242}{{(81 + 1)}^{2}}$

Этап 6.2.3.2

Добавим $81$ и $1$ .

$f'' (3) = - \frac{2 \cdot 242}{82^{2}}$

Этап 6.2.3.3

Возведем $82$ в степень $2$ .

$f'' (3) = - \frac{2 \cdot 242}{6724}$

Этап 6.2.4

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.4.1

Умножим $2$ на $242$ .

$f'' (3) = - \frac{484}{6724}$

Этап 6.2.4.2

Сократим общий множитель $484$ и $6724$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.4.2.1

Вынесем множитель $4$ из $484$ .

$f'' (3) = - \frac{4 (121)}{6724}$

Этап 6.2.4.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.4.2.2.1

Вынесем множитель $4$ из $6724$ .

$f'' (3) = - \frac{4 \cdot 121}{4 \cdot 1681}$

Этап 6.2.4.2.2.2

Сократим общий множитель.

$f'' (3) = - \frac{4 \cdot 121}{4 \cdot 1681}$

Этап 6.2.4.2.2.3

Перепишем это выражение.

$f'' (3) = - \frac{121}{1681}$

Этап 6.2.5

Окончательный ответ: $- \frac{121}{1681}$ .

$- \frac{121}{1681}$

Этап 6.3

График вогнут вниз на интервале $(\frac{\sqrt[4]{27}}{3}, \infty)$ , поскольку $f'' (3)$ имеет отрицательное значение.

Вогнутость вниз на интервале $(\frac{\sqrt[4]{27}}{3}, \infty)$ , поскольку $f'' (x)$ меньше нуля

Этап 7

График вогнут вниз, когда вторая производная отрицательна, и вогнут вверх, когда вторая производная положительна.

Вогнутость вниз на интервале $(- \infty, - \frac{\sqrt[4]{27}}{3})$ , поскольку $f'' (x)$ меньше нуля

Вогнутость вверх на интервале $(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}, \frac{\sqrt[4]{27}}{3})$ , поскольку $f'' (x)$ больше нуля

Вогнутость вниз на интервале $(\frac{\sqrt[4]{27}}{3}, \infty)$ , поскольку $f'' (x)$ меньше нуля

Этап 8