Математический анализ Примеры

$\int \frac{3}{{(3 - 2 x)}^{2}} d x$

Этап 1

Пусть $u = 3 - 2 x$ . Тогда $d u = - 2 d x$ , следовательно $- \frac{1}{2} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u = 3 - 2 x$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $3 - 2 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 - 2 x]$

Этап 1.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

По правилу суммы производная $3 - 2 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Этап 1.1.2.2

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3$ относительно $x$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Этап 1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 x$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - 2 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$0 - 2 \cdot 1$

Этап 1.1.3.3

Умножим $- 2$ на $1$ .

$0 - 2$

Этап 1.1.4

Вычтем $2$ из $0$ .

$- 2$

Этап 1.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int \frac{3}{u^{2}} \cdot \frac{1}{- 2} d u$

Этап 2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\int \frac{3}{u^{2}} (- \frac{1}{2}) d u$

Этап 2.2

Умножим $\frac{3}{u^{2}}$ на $\frac{1}{2}$ .

$\int - \frac{3}{u^{2} \cdot 2} d u$

Этап 2.3

Перенесем $2$ влево от $u^{2}$ .

$\int - \frac{3}{2 u^{2}} d u$

Этап 3

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \int \frac{3}{2 u^{2}} d u$

Этап 4

Поскольку $\frac{3}{2}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{3}{2}$ из-под знака интеграла.

$- (\frac{3}{2} \int \frac{1}{u^{2}} d u)$

Этап 5

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Вынесем $u^{2}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$- \frac{3}{2} \int {(u^{2})}^{- 1} d u$

Этап 5.2

Перемножим экспоненты в ${(u^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{3}{2} \int u^{2 \cdot - 1} d u$

Этап 5.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$- \frac{3}{2} \int u^{- 2} d u$

Этап 6

По правилу степени интеграл $u^{- 2}$ по $u$ имеет вид $- u^{- 1}$ .

$- \frac{3}{2} (- u^{- 1} + C)$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Перепишем $- \frac{3}{2} (- u^{- 1} + C)$ в виде $- \frac{3}{2} (- \frac{1}{u}) + C$ .

$- \frac{3}{2} (- \frac{1}{u}) + C$

Этап 7.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 (\frac{3}{2}) \frac{1}{u} + C$

Этап 7.2.2

Умножим $\frac{3}{2}$ на $1$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{u} + C$

Этап 7.2.3

Умножим $\frac{3}{2}$ на $\frac{1}{u}$ .

$\frac{3}{2 u} + C$

Этап 8

Заменим все вхождения $u$ на $3 - 2 x$ .

$\frac{3}{2 (3 - 2 x)} + C$