Математический анализ Примеры

$f (x) = {(3 x + 2)}^{4} - \frac{1}{x^{6}}$

Этап 1

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 2

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int {(3 x + 2)}^{4} - \frac{1}{x^{6}} d x$

Этап 3

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int {(3 x + 2)}^{4} d x + \int - \frac{1}{x^{6}} d x$

Этап 4

Пусть $u = 3 x + 2$ . Тогда $d u = 3 d x$ , следовательно $\frac{1}{3} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Пусть $u = 3 x + 2$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Дифференцируем $3 x + 2$ .

$\frac{d}{d x} [3 x + 2]$

Этап 4.1.2

По правилу суммы производная $3 x + 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 4.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 4.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 4.1.3.3

Умножим $3$ на $1$ .

$3 + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 4.1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2$ относительно $x$ равна $0$ .

$3 + 0$

Этап 4.1.4.2

Добавим $3$ и $0$ .

$3$

Этап 4.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int u^{4} \frac{1}{3} d u + \int - \frac{1}{x^{6}} d x$

Этап 5

Объединим $u^{4}$ и $\frac{1}{3}$ .

$\int \frac{u^{4}}{3} d u + \int - \frac{1}{x^{6}} d x$

Этап 6

Поскольку $\frac{1}{3}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{3}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{3} \int u^{4} d u + \int - \frac{1}{x^{6}} d x$

Этап 7

По правилу степени интеграл $u^{4}$ по $u$ имеет вид $\frac{1}{5} u^{5}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{1}{5} u^{5} + C) + \int - \frac{1}{x^{6}} d x$

Этап 8

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{3} (\frac{1}{5} u^{5} + C) - \int \frac{1}{x^{6}} d x$

Этап 9

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Вынесем $x^{6}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\frac{1}{3} (\frac{1}{5} u^{5} + C) - \int {(x^{6})}^{- 1} d x$

Этап 9.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{6})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{1}{5} u^{5} + C) - \int x^{6 \cdot - 1} d x$

Этап 9.2.2

Умножим $6$ на $- 1$ .

$\frac{1}{3} (\frac{1}{5} u^{5} + C) - \int x^{- 6} d x$

Этап 10

По правилу степени интеграл $x^{- 6}$ по $x$ имеет вид $- \frac{1}{5} x^{- 5}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{1}{5} u^{5} + C) - (- \frac{1}{5} x^{- 5} + C)$

Этап 11

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.1

Объединим $x^{- 5}$ и $\frac{1}{5}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{1}{5} u^{5} + C) - (- \frac{x^{- 5}}{5} + C)$

Этап 11.1.2

Перенесем $x^{- 5}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{1}{5} u^{5} + C) - (- \frac{1}{5 x^{5}} + C)$

Этап 11.2

Упростим.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{5} u^{5} - - \frac{1}{5 x^{5}} + C$

Этап 11.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.1

Умножим $\frac{1}{3}$ на $\frac{1}{5}$ .

$\frac{1}{3 \cdot 5} u^{5} - - \frac{1}{5 x^{5}} + C$

Этап 11.3.2

Умножим $3$ на $5$ .

$\frac{1}{15} u^{5} - - \frac{1}{5 x^{5}} + C$

Этап 11.3.3

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{1}{15} u^{5} + 1 \frac{1}{5 x^{5}} + C$

Этап 11.3.4

Умножим $\frac{1}{5 x^{5}}$ на $1$ .

$\frac{1}{15} u^{5} + \frac{1}{5 x^{5}} + C$

Этап 12

Заменим все вхождения $u$ на $3 x + 2$ .

$\frac{1}{15} {(3 x + 2)}^{5} + \frac{1}{5 x^{5}} + C$

Этап 13

Ответ ― первообразная функции $f (x) = {(3 x + 2)}^{4} - \frac{1}{x^{6}}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{15} {(3 x + 2)}^{5} + \frac{1}{5 x^{5}} + C$