Математический анализ Примеры

$\ln (2 x + 1)$

Этап 1

Запишем $\ln (2 x + 1)$ в виде функции.

$f (x) = \ln (2 x + 1)$

Этап 2

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 3

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int \ln (2 x + 1) d x$

Этап 4

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = \ln (2 x + 1)$ и $d v = 1$ .

$\ln (2 x + 1) x - \int x \frac{2}{2 x + 1} d x$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Объединим $x$ и $\frac{2}{2 x + 1}$ .

$\ln (2 x + 1) x - \int \frac{x \cdot 2}{2 x + 1} d x$

Этап 5.2

Перенесем $2$ влево от $x$ .

$\ln (2 x + 1) x - \int \frac{2 x}{2 x + 1} d x$

Этап 6

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$\ln (2 x + 1) x - (2 \int \frac{x}{2 x + 1} d x)$

Этап 7

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\ln (2 x + 1) x - 2 \int \frac{x}{2 x + 1} d x$

Этап 8

Разделим $x$ на $2 x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$2 x$

$1$

$x$

$0$

Этап 8.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $x$ на член с максимальной степенью в делителе $2 x$ .

					$\frac{1}{2}$
	$2 x$	+	$1$		$x$	+	$0$

Этап 8.3

Умножим новое частное на делитель.

				$\frac{1}{2}$
$2 x$	+	$1$		$x$	+	$0$
			+	$x$	+	$\frac{1}{2}$

Этап 8.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $x + \frac{1}{2}$ .

				$\frac{1}{2}$
$2 x$	+	$1$		$x$	+	$0$
			-	$x$	-	$\frac{1}{2}$

Этап 8.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$\frac{1}{2}$
$2 x$	+	$1$		$x$	+	$0$
			-	$x$	-	$\frac{1}{2}$
					-	$\frac{1}{2}$

Этап 8.6

Окончательный ответ: неполное частное плюс остаток, деленный на делитель.

$\ln (2 x + 1) x - 2 \int \frac{1}{2} - \frac{1}{2 (2 x + 1)} d x$

Этап 9

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\ln (2 x + 1) x - 2 (\int \frac{1}{2} d x + \int - \frac{1}{2 (2 x + 1)} d x)$

Этап 10

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\ln (2 x + 1) x - 2 (\frac{1}{2} x + C + \int - \frac{1}{2 (2 x + 1)} d x)$

Этап 11

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\ln (2 x + 1) x - 2 (\frac{1}{2} x + C - \int \frac{1}{2 (2 x + 1)} d x)$

Этап 12

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\ln (2 x + 1) x - 2 (\frac{1}{2} x + C - (\frac{1}{2} \int \frac{1}{2 x + 1} d x))$

Этап 13

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x$ .

$\ln (2 x + 1) x - 2 (\frac{x}{2} + C - \frac{1}{2} \int \frac{1}{2 x + 1} d x)$

Этап 14

Пусть $u = 2 x + 1$ . Тогда $d u = 2 d x$ , следовательно $\frac{1}{2} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Пусть $u = 2 x + 1$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1.1

Дифференцируем $2 x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [2 x + 1]$

Этап 14.1.2

По правилу суммы производная $2 x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 14.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1.3.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 14.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 14.1.3.3

Умножим $2$ на $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 14.1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1.4.1

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$2 + 0$

Этап 14.1.4.2

Добавим $2$ и $0$ .

$2$

Этап 14.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\ln (2 x + 1) x - 2 (\frac{x}{2} + C - \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u)$

Этап 15

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Умножим $\frac{1}{u}$ на $\frac{1}{2}$ .

$\ln (2 x + 1) x - 2 (\frac{x}{2} + C - \frac{1}{2} \int \frac{1}{u \cdot 2} d u)$

Этап 15.2

Перенесем $2$ влево от $u$ .

$\ln (2 x + 1) x - 2 (\frac{x}{2} + C - \frac{1}{2} \int \frac{1}{2 u} d u)$

Этап 16

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\ln (2 x + 1) x - 2 (\frac{x}{2} + C - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u))$

Этап 17

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{1}{2}$ .

$\ln (2 x + 1) x - 2 (\frac{x}{2} + C - \frac{1}{2 \cdot 2} \int \frac{1}{u} d u)$

Этап 17.2

Умножим $2$ на $2$ .

$\ln (2 x + 1) x - 2 (\frac{x}{2} + C - \frac{1}{4} \int \frac{1}{u} d u)$

Этап 18

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$\ln (2 x + 1) x - 2 (\frac{x}{2} + C - \frac{1}{4} (\ln (| u |) + C))$

Этап 19

Упростим.

$\ln (2 x + 1) x - 2 (\frac{1}{2} x - \frac{1}{4} \ln (| u |)) + C$

Этап 20

Заменим все вхождения $u$ на $2 x + 1$ .

$\ln (2 x + 1) x - 2 (\frac{1}{2} x - \frac{1}{4} \ln (| 2 x + 1 |)) + C$

Этап 21

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 21.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 21.1.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x$ .

$\ln (2 x + 1) x - 2 (\frac{x}{2} - \frac{1}{4} \ln (| 2 x + 1 |)) + C$

Этап 21.1.2

Объединим $\ln (| 2 x + 1 |)$ и $\frac{1}{4}$ .

$\ln (2 x + 1) x - 2 (\frac{x}{2} - \frac{\ln (| 2 x + 1 |)}{4}) + C$

Этап 21.2

Чтобы записать $\frac{x}{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\ln (2 x + 1) x - 2 (\frac{x}{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{\ln (| 2 x + 1 |)}{4}) + C$

Этап 21.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $4$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 21.3.1

Умножим $\frac{x}{2}$ на $\frac{2}{2}$ .

$\ln (2 x + 1) x - 2 (\frac{x \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{\ln (| 2 x + 1 |)}{4}) + C$

Этап 21.3.2

Умножим $2$ на $2$ .

$\ln (2 x + 1) x - 2 (\frac{x \cdot 2}{4} - \frac{\ln (| 2 x + 1 |)}{4}) + C$

Этап 21.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\ln (2 x + 1) x - 2 \frac{x \cdot 2 - \ln (| 2 x + 1 |)}{4} + C$

Этап 21.5

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 21.5.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$\ln (2 x + 1) x + 2 (- 1) \frac{x \cdot 2 - \ln (| 2 x + 1 |)}{4} + C$

Этап 21.5.2

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\ln (2 x + 1) x + 2 \cdot - 1 \frac{x \cdot 2 - \ln (| 2 x + 1 |)}{2 \cdot 2} + C$

Этап 21.5.3

Сократим общий множитель.

$\ln (2 x + 1) x + 2 \cdot - 1 \frac{x \cdot 2 - \ln (| 2 x + 1 |)}{2 \cdot 2} + C$

Этап 21.5.4

Перепишем это выражение.

$\ln (2 x + 1) x - \frac{x \cdot 2 - \ln (| 2 x + 1 |)}{2} + C$

Этап 21.6

Перенесем $2$ влево от $x$ .

$\ln (2 x + 1) x - \frac{2 x - \ln (| 2 x + 1 |)}{2} + C$

Этап 22

Изменим порядок членов.

$\ln (2 x + 1) x - \frac{1}{2} (2 x - \ln (| 2 x + 1 |)) + C$

Этап 23

Ответ ― первообразная функции $f (x) = \ln (2 x + 1)$ .

$F (x) =$ $\ln (2 x + 1) x - \frac{1}{2} (2 x - \ln (| 2 x + 1 |)) + C$