Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} {(3 \cos (3 θ))}^{2} d θ$

Этап 1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вынесем множитель $3$ из $3 \cos (3 θ)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} {(3 (\cos (3 θ)))}^{2} d θ$

Этап 1.2

Применим правило умножения к $3 (\cos (3 θ))$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} 3^{2} \cos^{2} (3 θ) d θ$

Этап 1.3

Возведем $3$ в степень $2$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} 9 \cos^{2} (3 θ) d θ$

Этап 2

Поскольку $9$ — константа по отношению к $θ$ , вынесем $9$ из-под знака интеграла.

$9 \int_{0}^{\frac{π}{6}} \cos^{2} (3 θ) d θ$

Этап 3

Пусть $u_{1} = 3 θ$ . Тогда $d u_{1} = 3 d θ$ , следовательно $\frac{1}{3} d u_{1} = d θ$ . Перепишем, используя $u_{1}$ и $d$ $u_{1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Пусть $u_{1} = 3 θ$ . Найдем $\frac{d u_{1}}{d θ}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Дифференцируем $3 θ$ .

$\frac{d}{d θ} [3 θ]$

Этап 3.1.2

Поскольку $3$ является константой относительно $θ$ , производная $3 θ$ по $θ$ равна $3 \frac{d}{d θ} [θ]$ .

$3 \frac{d}{d θ} [θ]$

Этап 3.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d θ} [θ^{n}]$ имеет вид $n θ^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Этап 3.1.4

Умножим $3$ на $1$ .

$3$

Этап 3.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $θ$ в $u_{1} = 3 θ$ .

$u_{lower} = 3 \cdot 0$

Этап 3.3

Умножим $3$ на $0$ .

$u_{lower} = 0$

Этап 3.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $θ$ в $u_{1} = 3 θ$ .

$u_{upper} = 3 \frac{π}{6}$

Этап 3.5

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Вынесем множитель $3$ из $6$ .

$u_{upper} = 3 \frac{π}{3 (2)}$

Этап 3.5.2

Сократим общий множитель.

$u_{upper} = 3 \frac{π}{3 \cdot 2}$

Этап 3.5.3

Перепишем это выражение.

$u_{upper} = \frac{π}{2}$

Этап 3.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{π}{2}$

Этап 3.7

Переформулируем задачу, используя $u_{1}$ , $d u_{1}$ и новые пределы интегрирования.

$9 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos^{2} (u_{1}) \frac{1}{3} d u_{1}$

Этап 4

Объединим $\cos^{2} (u_{1})$ и $\frac{1}{3}$ .

$9 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{\cos^{2} (u_{1})}{3} d u_{1}$

Этап 5

Поскольку $\frac{1}{3}$ — константа по отношению к $u_{1}$ , вынесем $\frac{1}{3}$ из-под знака интеграла.

$9 (\frac{1}{3} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos^{2} (u_{1}) d u_{1})$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Объединим $\frac{1}{3}$ и $9$ .

$\frac{9}{3} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos^{2} (u_{1}) d u_{1}$

Этап 6.2

Сократим общий множитель $9$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Вынесем множитель $3$ из $9$ .

$\frac{3 \cdot 3}{3} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos^{2} (u_{1}) d u_{1}$

Этап 6.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$\frac{3 \cdot 3}{3 (1)} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos^{2} (u_{1}) d u_{1}$

Этап 6.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 1} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos^{2} (u_{1}) d u_{1}$

Этап 6.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{3}{1} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos^{2} (u_{1}) d u_{1}$

Этап 6.2.2.4

Разделим $3$ на $1$ .

$3 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos^{2} (u_{1}) d u_{1}$

Этап 7

Используем формулу половинного угла для записи $\cos^{2} (u_{1})$ в виде $\frac{1 + \cos (2 u_{1})}{2}$ .

$3 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{1 + \cos (2 u_{1})}{2} d u_{1}$

Этап 8

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u_{1}$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$3 (\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Этап 9

Объединим $\frac{1}{2}$ и $3$ .

$\frac{3}{2} \int_{0}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Этап 10

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\frac{3}{2} (\int_{0}^{\frac{π}{2}} d u_{1} + \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Этап 11

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\frac{3}{2} (u_{1}]_{0}^{\frac{π}{2}} + \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Этап 12

Пусть $u_{2} = 2 u_{1}$ . Тогда $d u_{2} = 2 d u_{1}$ , следовательно $\frac{1}{2} d u_{2} = d u_{1}$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Пусть $u_{2} = 2 u_{1}$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1

Дифференцируем $2 u_{1}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [2 u_{1}]$

Этап 12.1.2

Поскольку $2$ является константой относительно $u_{1}$ , производная $2 u_{1}$ по $u_{1}$ равна $2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Этап 12.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Этап 12.1.4

Умножим $2$ на $1$ .

$2$

Этап 12.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $u_{1}$ в $u_{2} = 2 u_{1}$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

Этап 12.3

Умножим $2$ на $0$ .

$u_{lower} = 0$

Этап 12.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $u_{1}$ в $u_{2} = 2 u_{1}$ .

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2}$

Этап 12.5

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.5.1

Сократим общий множитель.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2}$

Этап 12.5.2

Перепишем это выражение.

$u_{upper} = π$

Этап 12.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = π$

Этап 12.7

Переформулируем задачу, используя $u_{2}$ , $d u_{2}$ и новые пределы интегрирования.

$\frac{3}{2} (u_{1}]_{0}^{\frac{π}{2}} + \int_{0}^{π} \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2})$

Этап 13

Объединим $\cos (u_{2})$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{3}{2} (u_{1}]_{0}^{\frac{π}{2}} + \int_{0}^{π} \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

Этап 14

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u_{2}$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{3}{2} (u_{1}]_{0}^{\frac{π}{2}} + \frac{1}{2} \int_{0}^{π} \cos (u_{2}) d u_{2})$

Этап 15

Интеграл $\cos (u_{2})$ по $u_{2}$ имеет вид $\sin (u_{2})$ .

$\frac{3}{2} (u_{1}]_{0}^{\frac{π}{2}} + \frac{1}{2} \sin (u_{2})]_{0}^{π})$

Этап 16

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1

Найдем значение $u_{1}$ в $\frac{π}{2}$ и в $0$ .

$\frac{3}{2} ((\frac{π}{2}) + 0 + \frac{1}{2} \sin (u_{2})]_{0}^{π})$

Этап 16.2

Найдем значение $\sin (u_{2})$ в $π$ и в $0$ .

$\frac{3}{2} ((\frac{π}{2}) + 0 + \frac{1}{2} ((\sin (π)) - \sin (0)))$

Этап 16.3

Добавим $\frac{π}{2}$ и $0$ .

$\frac{3}{2} (\frac{π}{2} + \frac{1}{2} (\sin (π) - \sin (0)))$

Этап 17

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$\frac{3}{2} (\frac{π}{2} + \frac{1}{2} (\sin (π) - 0))$

Этап 17.2

Умножим $- 1$ на $0$ .

$\frac{3}{2} (\frac{π}{2} + \frac{1}{2} (\sin (π) + 0))$

Этап 17.3

Добавим $\sin (π)$ и $0$ .

$\frac{3}{2} (\frac{π}{2} + \frac{1}{2} \sin (π))$

Этап 17.4

Объединим $\frac{1}{2}$ и $\sin (π)$ .

$\frac{3}{2} (\frac{π}{2} + \frac{\sin (π)}{2})$

Этап 18

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{π + \sin (π)}{2}$

Этап 18.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.2.1

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{π + \sin (0)}{2}$

Этап 18.2.2

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{π + 0}{2}$

Этап 18.3

Добавим $π$ и $0$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{π}{2}$

Этап 18.4

Умножим $\frac{3}{2} \cdot \frac{π}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.4.1

Умножим $\frac{3}{2}$ на $\frac{π}{2}$ .

$\frac{3 π}{2 \cdot 2}$

Этап 18.4.2

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{3 π}{4}$

Этап 19

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{3 π}{4}$

Десятичная форма:

$2.35619449 \dots$