Математический анализ Примеры

$f (x) = 5 x - 2 x^{3} - 2$ is concave down at $x = 1$

Этап 1

Найдем значение $y$ при $x = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Подставим $1$ вместо $x$ .

$y = 5 (1) - 2 {(1)}^{3} - 2$

Этап 1.2

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Избавимся от скобок.

$y = 5 (1) - 2 \cdot 1^{3} - 2$

Этап 1.2.2

Избавимся от скобок.

$y = 5 (1) - 2 {(1)}^{3} - 2$

Этап 1.2.3

Упростим $5 (1) - 2 {(1)}^{3} - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1.1

Умножим $5$ на $1$ .

$y = 5 - 2 {(1)}^{3} - 2$

Этап 1.2.3.1.2

Единица в любой степени равна единице.

$y = 5 - 2 \cdot 1 - 2$

Этап 1.2.3.1.3

Умножим $- 2$ на $1$ .

$y = 5 - 2 - 2$

Этап 1.2.3.2

Упростим путем вычитания чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1

Вычтем $2$ из $5$ .

$y = 3 - 2$

Этап 1.2.3.2.2

Вычтем $2$ из $3$ .

$y = 1$

Этап 2

Найдем первую производную и вычислим ее значения в точках $x = 1$ и $y = 1$ , чтобы найти угловой коэффициент касательной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $5 x - 2 x^{3} - 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [5 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 x$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Этап 2.2.3

Умножим $5$ на $1$ .

$5 + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 x^{3}$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$5 - 2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$5 - 2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 2]$

Этап 2.3.3

Умножим $3$ на $- 2$ .

$5 - 6 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 2]$

Этап 2.4

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2$ относительно $x$ равна $0$ .

$5 - 6 x^{2} + 0$

Этап 2.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Добавим $5 - 6 x^{2}$ и $0$ .

$5 - 6 x^{2}$

Этап 2.5.2

Изменим порядок членов.

$- 6 x^{2} + 5$

Этап 2.6

Найдем производную в $x = 1$ .

$- 6 {(1)}^{2} + 5$

Этап 2.7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$- 6 \cdot 1 + 5$

Этап 2.7.1.2

Умножим $- 6$ на $1$ .

$- 6 + 5$

Этап 2.7.2

Добавим $- 6$ и $5$ .

$- 1$

Этап 3

Подставим угловой коэффициент и координаты точки в уравнение прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой и решим его относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Используем угловой коэффициент $- 1$ и координаты заданной точки $(1, 1)$ вместо $x_{1}$ и $y_{1}$ в уравнении прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , выведенном из уравнения с угловым коэффициентом $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (1) = - 1 \cdot (x - (1))$

Этап 3.2

Упростим уравнение и оставим его в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой.

$y - 1 = - 1 \cdot (x - 1)$

Этап 3.3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим $- 1 \cdot (x - 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Перепишем.

$y - 1 = 0 + 0 - 1 \cdot (x - 1)$

Этап 3.3.1.2

Упростим путем добавления нулей.

$y - 1 = - 1 \cdot (x - 1)$

Этап 3.3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y - 1 = - 1 x - 1 \cdot - 1$

Этап 3.3.1.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.4.1

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$y - 1 = - x - 1 \cdot - 1$

Этап 3.3.1.4.2

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$y - 1 = - x + 1$

Этап 3.3.2

Перенесем все члены без $y$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$y = - x + 1 + 1$

Этап 3.3.2.2

Добавим $1$ и $1$ .

$y = - x + 2$

Этап 4