Математический анализ Примеры

$\int 6 x {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} d x$

Этап 1

Поскольку $6$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $6$ из-под знака интеграла.

$6 \int x {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} d x$

Этап 2

Пусть $u = x^{2} + 1$ . Тогда $d u = 2 x d x$ , следовательно $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть $u = x^{2} + 1$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Дифференцируем $x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Этап 2.1.2

По правилу суммы производная $x^{2} + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 2.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 2.1.4

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$2 x + 0$

Этап 2.1.5

Добавим $2 x$ и $0$ .

$2 x$

Этап 2.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$6 \int u^{\frac{3}{2}} \frac{1}{2} d u$

Этап 3

Объединим $u^{\frac{3}{2}}$ и $\frac{1}{2}$ .

$6 \int \frac{u^{\frac{3}{2}}}{2} d u$

Этап 4

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$6 (\frac{1}{2} \int u^{\frac{3}{2}} d u)$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $6$ .

$\frac{6}{2} \int u^{\frac{3}{2}} d u$

Этап 5.2

Сократим общий множитель $6$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$\frac{2 \cdot 3}{2} \int u^{\frac{3}{2}} d u$

Этап 5.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{2 \cdot 3}{2 (1)} \int u^{\frac{3}{2}} d u$

Этап 5.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1} \int u^{\frac{3}{2}} d u$

Этап 5.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{3}{1} \int u^{\frac{3}{2}} d u$

Этап 5.2.2.4

Разделим $3$ на $1$ .

$3 \int u^{\frac{3}{2}} d u$

Этап 6

По правилу степени интеграл $u^{\frac{3}{2}}$ по $u$ имеет вид $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ .

$3 (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C)$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Перепишем $3 (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C)$ в виде $3 (\frac{2}{5}) u^{\frac{5}{2}} + C$ .

$3 (\frac{2}{5}) u^{\frac{5}{2}} + C$

Этап 7.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Объединим $3$ и $\frac{2}{5}$ .

$\frac{3 \cdot 2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C$

Этап 7.2.2

Умножим $3$ на $2$ .

$\frac{6}{5} u^{\frac{5}{2}} + C$

Этап 8

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2} + 1$ .

$\frac{6}{5} {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}} + C$