Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{9}{x^{10}} + \frac{8}{x^{9}}$

Этап 1

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 2

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int \frac{9}{x^{10}} + \frac{8}{x^{9}} d x$

Этап 3

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int \frac{9}{x^{10}} d x + \int \frac{8}{x^{9}} d x$

Этап 4

Поскольку $9$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $9$ из-под знака интеграла.

$9 \int \frac{1}{x^{10}} d x + \int \frac{8}{x^{9}} d x$

Этап 5

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Вынесем $x^{10}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$9 \int {(x^{10})}^{- 1} d x + \int \frac{8}{x^{9}} d x$

Этап 5.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{10})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$9 \int x^{10 \cdot - 1} d x + \int \frac{8}{x^{9}} d x$

Этап 5.2.2

Умножим $10$ на $- 1$ .

$9 \int x^{- 10} d x + \int \frac{8}{x^{9}} d x$

Этап 6

По правилу степени интеграл $x^{- 10}$ по $x$ имеет вид $- \frac{1}{9} x^{- 9}$ .

$9 (- \frac{1}{9} x^{- 9} + C) + \int \frac{8}{x^{9}} d x$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Объединим $x^{- 9}$ и $\frac{1}{9}$ .

$9 (- \frac{x^{- 9}}{9} + C) + \int \frac{8}{x^{9}} d x$

Этап 7.2

Перенесем $x^{- 9}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$9 (- \frac{1}{9 x^{9}} + C) + \int \frac{8}{x^{9}} d x$

Этап 8

Поскольку $8$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $8$ из-под знака интеграла.

$9 (- \frac{1}{9 x^{9}} + C) + 8 \int \frac{1}{x^{9}} d x$

Этап 9

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Вынесем $x^{9}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$9 (- \frac{1}{9 x^{9}} + C) + 8 \int {(x^{9})}^{- 1} d x$

Этап 9.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{9})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$9 (- \frac{1}{9 x^{9}} + C) + 8 \int x^{9 \cdot - 1} d x$

Этап 9.2.2

Умножим $9$ на $- 1$ .

$9 (- \frac{1}{9 x^{9}} + C) + 8 \int x^{- 9} d x$

Этап 10

По правилу степени интеграл $x^{- 9}$ по $x$ имеет вид $- \frac{1}{8} x^{- 8}$ .

$9 (- \frac{1}{9 x^{9}} + C) + 8 (- \frac{1}{8} x^{- 8} + C)$

Этап 11

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.1

Объединим $x^{- 8}$ и $\frac{1}{8}$ .

$9 (- \frac{1}{9 x^{9}} + C) + 8 (- \frac{x^{- 8}}{8} + C)$

Этап 11.1.2

Перенесем $x^{- 8}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$9 (- \frac{1}{9 x^{9}} + C) + 8 (- \frac{1}{8 x^{8}} + C)$

Этап 11.2

Упростим.

$\frac{- 1}{x^{9}} + 8 (- \frac{1}{8 x^{8}}) + C$

Этап 11.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1}{x^{9}} + 8 (- \frac{1}{8 x^{8}}) + C$

Этап 11.3.2

Умножим $- 1$ на $8$ .

$- \frac{1}{x^{9}} - 8 \frac{1}{8 x^{8}} + C$

Этап 11.3.3

Объединим $- 8$ и $\frac{1}{8 x^{8}}$ .

$- \frac{1}{x^{9}} + \frac{- 8}{8 x^{8}} + C$

Этап 11.3.4

Сократим общий множитель $- 8$ и $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.4.1

Вынесем множитель $8$ из $- 8$ .

$- \frac{1}{x^{9}} + \frac{8 \cdot - 1}{8 x^{8}} + C$

Этап 11.3.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.4.2.1

Вынесем множитель $8$ из $8 x^{8}$ .

$- \frac{1}{x^{9}} + \frac{8 \cdot - 1}{8 (x^{8})} + C$

Этап 11.3.4.2.2

Сократим общий множитель.

$- \frac{1}{x^{9}} + \frac{8 \cdot - 1}{8 x^{8}} + C$

Этап 11.3.4.2.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{1}{x^{9}} + \frac{- 1}{x^{8}} + C$

Этап 11.3.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1}{x^{9}} - \frac{1}{x^{8}} + C$

Этап 12

Ответ ― первообразная функции $f (x) = \frac{9}{x^{10}} + \frac{8}{x^{9}}$ .

$F (x) =$ $- \frac{1}{x^{9}} - \frac{1}{x^{8}} + C$