Математический анализ Примеры

$\sum_{i = 1}^{25} {(i^{2} + 2)}^{2}$

Этап 1

Упростим суммирование.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем ${(i^{2} + 2)}^{2}$ в виде $(i^{2} + 2) (i^{2} + 2)$ .

$(i^{2} + 2) (i^{2} + 2)$

Этап 1.2

Развернем $(i^{2} + 2) (i^{2} + 2)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$i^{2} (i^{2} + 2) + 2 (i^{2} + 2)$

Этап 1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$i^{2} i^{2} + i^{2} \cdot 2 + 2 (i^{2} + 2)$

Этап 1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$i^{2} i^{2} + i^{2} \cdot 2 + 2 i^{2} + 2 \cdot 2$

Этап 1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1

Умножим $i^{2}$ на $i^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$i^{2 + 2} + i^{2} \cdot 2 + 2 i^{2} + 2 \cdot 2$

Этап 1.3.1.1.2

Добавим $2$ и $2$ .

$i^{4} + i^{2} \cdot 2 + 2 i^{2} + 2 \cdot 2$

Этап 1.3.1.2

Перенесем $2$ влево от $i^{2}$ .

$i^{4} + 2 \cdot i^{2} + 2 i^{2} + 2 \cdot 2$

Этап 1.3.1.3

Умножим $2$ на $2$ .

$i^{4} + 2 i^{2} + 2 i^{2} + 4$

Этап 1.3.2

Добавим $2 i^{2}$ и $2 i^{2}$ .

$i^{4} + 4 i^{2} + 4$

Этап 1.4

Переделаем суммирование.

$\sum_{i = 1}^{25} i^{4} + 4 i^{2} + 4$

Этап 2

Разобьем сумму на меньшие суммы в соответствии с правилами суммирования.

$\sum_{i = 1}^{25} i^{4} + 4 i^{2} + 4 = \sum_{i = 1}^{25} i^{4} + 4 \sum_{i = 1}^{25} i^{2} + \sum_{i = 1}^{25} 4$

Этап 3

Найдем значение $\sum_{i = 1}^{25} i^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Развернем ряд для каждого значения $i$ .

$1^{4} + 2^{4} + 3^{4} + \dots + 25^{4}$

Этап 3.2

Упростим расширенную форму.

$2153645$

Этап 4

Найдем значение $4 \sum_{i = 1}^{25} i^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Формула суммирования многочлена степени $2$ :

$\sum_{k = 1}^{n} i^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

Этап 4.2

Подставим данные значения в формулу и умножим на стоящий первым член.

$(4) (\frac{25 (25 + 1) (2 \cdot 25 + 1)}{6})$

Этап 4.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1

Добавим $25$ и $1$ .

$4 \frac{25 \cdot 26 (2 \cdot 25 + 1)}{6}$

Этап 4.3.1.2

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.2.1

Умножим $25$ на $26$ .

$4 \frac{650 (2 \cdot 25 + 1)}{6}$

Этап 4.3.1.2.2

Умножим $2$ на $25$ .

$4 \frac{650 (50 + 1)}{6}$

Этап 4.3.1.3

Добавим $50$ и $1$ .

$4 \frac{650 \cdot 51}{6}$

Этап 4.3.2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Умножим $650$ на $51$ .

$4 (\frac{33150}{6})$

Этап 4.3.2.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$2 (2) \frac{33150}{6}$

Этап 4.3.2.2.2

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$2 \cdot 2 \frac{33150}{2 \cdot 3}$

Этап 4.3.2.2.3

Сократим общий множитель.

$2 \cdot 2 \frac{33150}{2 \cdot 3}$

Этап 4.3.2.2.4

Перепишем это выражение.

$2 (\frac{33150}{3})$

Этап 4.3.2.3

Объединим $2$ и $\frac{33150}{3}$ .

$\frac{2 \cdot 33150}{3}$

Этап 4.3.2.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.4.1

Умножим $2$ на $33150$ .

$\frac{66300}{3}$

Этап 4.3.2.4.2

Разделим $66300$ на $3$ .

$22100$

Этап 5

Найдем значение $\sum_{i = 1}^{25} 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Формула суммирования констант:

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

Этап 5.2

Подставим значения в формулу.

$(4) (25)$

Этап 5.3

Умножим $4$ на $25$ .

$100$

Этап 6

Сложим результаты суммирования.

$2153645 + 22100 + 100$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Добавим $2153645$ и $22100$ .

$2175745 + 100$

Этап 7.2

Добавим $2175745$ и $100$ .

$2175845$