Математический анализ Примеры

$lim_{x \to - 1} \frac{{(x + 1)}^{2} (x - 1)}{x^{3} + 1}$

Этап 1

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to - 1} {(x + 1)}^{2} (x - 1)}{lim_{x \to - 1} x^{3} + 1}$

Этап 1.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $- 1$ .

$\frac{lim_{x \to - 1} {(x + 1)}^{2} \cdot lim_{x \to - 1} x - 1}{lim_{x \to - 1} x^{3} + 1}$

Этап 1.1.2.2

Вынесем степень $2$ в выражении ${(x + 1)}^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{{(lim_{x \to - 1} x + 1)}^{2} \cdot lim_{x \to - 1} x - 1}{lim_{x \to - 1} x^{3} + 1}$

Этап 1.1.2.3

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $- 1$ .

$\frac{{(lim_{x \to - 1} x + lim_{x \to - 1} 1)}^{2} \cdot lim_{x \to - 1} x - 1}{lim_{x \to - 1} x^{3} + 1}$

Этап 1.1.2.4

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $- 1$ .

$\frac{{(lim_{x \to - 1} x + 1)}^{2} \cdot lim_{x \to - 1} x - 1}{lim_{x \to - 1} x^{3} + 1}$

Этап 1.1.2.5

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $- 1$ .

$\frac{{(lim_{x \to - 1} x + 1)}^{2} \cdot (lim_{x \to - 1} x - lim_{x \to - 1} 1)}{lim_{x \to - 1} x^{3} + 1}$

Этап 1.1.2.6

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $- 1$ .

$\frac{{(lim_{x \to - 1} x + 1)}^{2} \cdot (lim_{x \to - 1} x - 1 \cdot 1)}{lim_{x \to - 1} x^{3} + 1}$

Этап 1.1.2.7

Найдем значения пределов, подставив значение $- 1$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.7.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $- 1$ для $x$ .

$\frac{{(- 1 + 1)}^{2} \cdot (lim_{x \to - 1} x - 1 \cdot 1)}{lim_{x \to - 1} x^{3} + 1}$

Этап 1.1.2.7.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $- 1$ для $x$ .

$\frac{{(- 1 + 1)}^{2} \cdot (- 1 - 1 \cdot 1)}{lim_{x \to - 1} x^{3} + 1}$

Этап 1.1.2.8

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.8.1

Добавим $- 1$ и $1$ .

$\frac{0^{2} \cdot (- 1 - 1 \cdot 1)}{lim_{x \to - 1} x^{3} + 1}$

Этап 1.1.2.8.2

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{0 \cdot (- 1 - 1 \cdot 1)}{lim_{x \to - 1} x^{3} + 1}$

Этап 1.1.2.8.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{0 \cdot (- 1 - 1)}{lim_{x \to - 1} x^{3} + 1}$

Этап 1.1.2.8.4

Вычтем $1$ из $- 1$ .

$\frac{0 \cdot - 2}{lim_{x \to - 1} x^{3} + 1}$

Этап 1.1.2.8.5

Умножим $0$ на $- 2$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 1} x^{3} + 1}$

Этап 1.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $- 1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 1} x^{3} + lim_{x \to - 1} 1}$

Этап 1.1.3.1.2

Вынесем степень $3$ в выражении $x^{3}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{0}{{(lim_{x \to - 1} x)}^{3} + lim_{x \to - 1} 1}$

Этап 1.1.3.1.3

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $- 1$ .

$\frac{0}{{(lim_{x \to - 1} x)}^{3} + 1}$

Этап 1.1.3.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $- 1$ для $x$ .

$\frac{0}{{(- 1)}^{3} + 1}$

Этап 1.1.3.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.3.1

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$\frac{0}{- 1 + 1}$

Этап 1.1.3.3.2

Добавим $- 1$ и $1$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.3.3

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to - 1} \frac{{(x + 1)}^{2} (x - 1)}{x^{3} + 1} = lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2} (x - 1)]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 1]}$

Этап 1.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2} (x - 1)]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 1]}$

Этап 1.3.2

Перепишем ${(x + 1)}^{2}$ в виде $(x + 1) (x + 1)$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [(x + 1) (x + 1) (x - 1)]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 1]}$

Этап 1.3.3

Развернем $(x + 1) (x + 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [(x (x + 1) + 1 (x + 1)) (x - 1)]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 1]}$

Этап 1.3.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [(x \cdot x + x \cdot 1 + 1 (x + 1)) (x - 1)]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 1]}$

Этап 1.3.3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [(x \cdot x + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1) (x - 1)]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 1]}$

Этап 1.3.4

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [(x^{2} + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1) (x - 1)]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 1]}$

Этап 1.3.4.1.2

Умножим $x$ на $1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [(x^{2} + x + 1 x + 1 \cdot 1) (x - 1)]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 1]}$

Этап 1.3.4.1.3

Умножим $x$ на $1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [(x^{2} + x + x + 1 \cdot 1) (x - 1)]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 1]}$

Этап 1.3.4.1.4

Умножим $1$ на $1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [(x^{2} + x + x + 1) (x - 1)]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 1]}$

Этап 1.3.4.2

Добавим $x$ и $x$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [(x^{2} + 2 x + 1) (x - 1)]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 1]}$

Этап 1.3.5

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x^{2} + 2 x + 1$ и $g (x) = x - 1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{(x^{2} + 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1] + (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x + 1]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 1]}$

Этап 1.3.6

По правилу суммы производная $x - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{(x^{2} + 2 x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x + 1]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 1]}$

Этап 1.3.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{(x^{2} + 2 x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x + 1]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 1]}$

Этап 1.3.8

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{(x^{2} + 2 x + 1) (1 + 0) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x + 1]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 1]}$

Этап 1.3.9

Добавим $1$ и $0$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{(x^{2} + 2 x + 1) \cdot 1 + (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x + 1]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 1]}$

Этап 1.3.10

Умножим $x^{2} + 2 x + 1$ на $1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{x^{2} + 2 x + 1 + (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x + 1]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 1]}$

Этап 1.3.11

По правилу суммы производная $x^{2} + 2 x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{x^{2} + 2 x + 1 + (x - 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1])}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 1]}$

Этап 1.3.12

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{x^{2} + 2 x + 1 + (x - 1) (2 x + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1])}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 1]}$

Этап 1.3.13

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{x^{2} + 2 x + 1 + (x - 1) (2 x + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 1]}$

Этап 1.3.14

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{x^{2} + 2 x + 1 + (x - 1) (2 x + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 1]}$

Этап 1.3.15

Умножим $2$ на $1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{x^{2} + 2 x + 1 + (x - 1) (2 x + 2 + \frac{d}{d x} [1])}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 1]}$

Этап 1.3.16

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{x^{2} + 2 x + 1 + (x - 1) (2 x + 2 + 0)}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 1]}$

Этап 1.3.17

Добавим $2 x + 2$ и $0$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{x^{2} + 2 x + 1 + (x - 1) (2 x + 2)}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 1]}$

Этап 1.3.18

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.18.1

Применим свойство дистрибутивности.

$lim_{x \to - 1} \frac{x^{2} + 2 x + 1 + (x - 1) (2 x) + (x - 1) \cdot 2}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 1]}$

Этап 1.3.18.2

Применим свойство дистрибутивности.

$lim_{x \to - 1} \frac{x^{2} + 2 x + 1 + x (2 x) - 1 (2 x) + (x - 1) \cdot 2}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 1]}$

Этап 1.3.18.3

Применим свойство дистрибутивности.

$lim_{x \to - 1} \frac{x^{2} + 2 x + 1 + x (2 x) - 1 (2 x) + x \cdot 2 - 1 \cdot 2}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 1]}$

Этап 1.3.18.4

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.18.4.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{x^{2} + 2 x + 1 + 2 (x^{1} x) - 1 (2 x) + x \cdot 2 - 1 \cdot 2}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 1]}$

Этап 1.3.18.4.2

Возведем $x$ в степень $1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{x^{2} + 2 x + 1 + 2 (x^{1} x^{1}) - 1 (2 x) + x \cdot 2 - 1 \cdot 2}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 1]}$

Этап 1.3.18.4.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$lim_{x \to - 1} \frac{x^{2} + 2 x + 1 + 2 x^{1 + 1} - 1 (2 x) + x \cdot 2 - 1 \cdot 2}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 1]}$

Этап 1.3.18.4.4

Добавим $1$ и $1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{x^{2} + 2 x + 1 + 2 x^{2} - 1 (2 x) + x \cdot 2 - 1 \cdot 2}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 1]}$

Этап 1.3.18.4.5

Умножим $2$ на $- 1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{x^{2} + 2 x + 1 + 2 x^{2} - 2 x + x \cdot 2 - 1 \cdot 2}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 1]}$

Этап 1.3.18.4.6

Перенесем $2$ влево от $x$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{x^{2} + 2 x + 1 + 2 x^{2} - 2 x + 2 \cdot x - 1 \cdot 2}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 1]}$

Этап 1.3.18.4.7

Умножим $- 1$ на $2$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{x^{2} + 2 x + 1 + 2 x^{2} - 2 x + 2 x - 2}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 1]}$

Этап 1.3.18.4.8

Добавим $- 2 x$ и $2 x$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{x^{2} + 2 x + 1 + 2 x^{2} + 0 - 2}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 1]}$

Этап 1.3.18.4.9

Добавим $2 x^{2}$ и $0$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{x^{2} + 2 x + 1 + 2 x^{2} - 2}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 1]}$

Этап 1.3.18.4.10

Добавим $x^{2}$ и $2 x^{2}$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{3 x^{2} + 2 x + 1 - 2}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 1]}$

Этап 1.3.18.4.11

Вычтем $2$ из $1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{3 x^{2} + 2 x - 1}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 1]}$

Этап 1.3.19

По правилу суммы производная $x^{3} + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{3 x^{2} + 2 x - 1}{\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]}$

Этап 1.3.20

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{3 x^{2} + 2 x - 1}{3 x^{2} + \frac{d}{d x} [1]}$

Этап 1.3.21

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{3 x^{2} + 2 x - 1}{3 x^{2} + 0}$

Этап 1.3.22

Добавим $3 x^{2}$ и $0$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{3 x^{2} + 2 x - 1}{3 x^{2}}$

Этап 2

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем член $\frac{1}{3}$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to - 1} \frac{3 x^{2} + 2 x - 1}{x^{2}}$

Этап 2.2

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $- 1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{lim_{x \to - 1} 3 x^{2} + 2 x - 1}{lim_{x \to - 1} x^{2}}$

Этап 2.3

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $- 1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{lim_{x \to - 1} 3 x^{2} + lim_{x \to - 1} 2 x - lim_{x \to - 1} 1}{lim_{x \to - 1} x^{2}}$

Этап 2.4

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 lim_{x \to - 1} x^{2} + lim_{x \to - 1} 2 x - lim_{x \to - 1} 1}{lim_{x \to - 1} x^{2}}$

Этап 2.5

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 {(lim_{x \to - 1} x)}^{2} + lim_{x \to - 1} 2 x - lim_{x \to - 1} 1}{lim_{x \to - 1} x^{2}}$

Этап 2.6

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 {(lim_{x \to - 1} x)}^{2} + 2 lim_{x \to - 1} x - lim_{x \to - 1} 1}{lim_{x \to - 1} x^{2}}$

Этап 2.7

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $- 1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 {(lim_{x \to - 1} x)}^{2} + 2 lim_{x \to - 1} x - 1 \cdot 1}{lim_{x \to - 1} x^{2}}$

Этап 2.8

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 {(lim_{x \to - 1} x)}^{2} + 2 lim_{x \to - 1} x - 1 \cdot 1}{{(lim_{x \to - 1} x)}^{2}}$

Этап 3

Найдем значения пределов, подставив значение $- 1$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $- 1$ для $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 {(- 1)}^{2} + 2 lim_{x \to - 1} x - 1 \cdot 1}{{(lim_{x \to - 1} x)}^{2}}$

Этап 3.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $- 1$ для $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 {(- 1)}^{2} + 2 \cdot - 1 - 1 \cdot 1}{{(lim_{x \to - 1} x)}^{2}}$

Этап 3.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $- 1$ для $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 {(- 1)}^{2} + 2 \cdot - 1 - 1 \cdot 1}{{(- 1)}^{2}}$

Этап 4

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 \cdot 1 + 2 \cdot - 1 - 1 \cdot 1}{{(- 1)}^{2}}$

Этап 4.1.2

Умножим $3$ на $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 + 2 \cdot - 1 - 1 \cdot 1}{{(- 1)}^{2}}$

Этап 4.1.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 - 2 - 1 \cdot 1}{{(- 1)}^{2}}$

Этап 4.1.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 - 2 - 1}{{(- 1)}^{2}}$

Этап 4.1.5

Вычтем $2$ из $3$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1 - 1}{{(- 1)}^{2}}$

Этап 4.1.6

Вычтем $1$ из $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{{(- 1)}^{2}}$

Этап 4.2

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{1}$

Этап 4.3

Разделим $0$ на $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot 0$

Этап 4.4

Умножим $\frac{1}{3}$ на $0$ .

$0$