Математический анализ Примеры

Поскольку ${\displaystyle 4}$ является константой относительно ${\displaystyle x}$, производная ${\displaystyle 4x^2{y}^7}$ по ${\displaystyle x}$ равна ${\displaystyle 4\frac{d}{dx}\left[x^2{y}^7\right]}$.

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[f\left(x\right)g\left(x\right)\right]}$ имеет вид ${\displaystyle f\left(x\right)\frac{d}{dx}\left[g\left(x\right)\right]+g\left(x\right)\frac{d}{dx}\left[f\left(x\right)\right]}$, где ${\displaystyle f\left(x\right)=x^2}$ и ${\displaystyle g\left(x\right)=y^7}$.

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[f\left(g\left(x\right)\right)\right]}$ имеет вид ${\displaystyle f\prime \left(g\left(x\right)\right)g\prime \left(x\right)}$, где ${\displaystyle f\left(x\right)=x^7}$ и ${\displaystyle g\left(x\right)=y}$.

Перепишем ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[y\right]}$ в виде ${\displaystyle y\mathrm{<mo>\prime </mo>}}$.

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[x^n\right]}$ имеет вид ${\displaystyle n{x}^{n-1}}$, где ${\displaystyle n=2}$.

Перенесем ${\displaystyle 7}$ влево от ${\displaystyle x^2}$.

Перенесем ${\displaystyle 2}$ влево от ${\displaystyle y^7}$.

Поскольку ${\displaystyle -2}$ является константой относительно ${\displaystyle x}$, производная ${\displaystyle -2x}$ по ${\displaystyle x}$ равна ${\displaystyle -2\frac{d}{dx}\left[x\right]}$.

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[x^n\right]}$ имеет вид ${\displaystyle n{x}^{n-1}}$, где ${\displaystyle n=1}$.

Умножим ${\displaystyle -2}$ на ${\displaystyle 1}$.

Применим свойство дистрибутивности.

Объединим термины.

Изменим порядок членов.

По правилу суммы производная ${\displaystyle x^5+4y^3}$ по ${\displaystyle x}$ имеет вид ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[x^5\right]+\frac{d}{dx}\left[4y^3\right]}$.

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[x^n\right]}$ имеет вид ${\displaystyle n{x}^{n-1}}$, где ${\displaystyle n=5}$.

Поскольку ${\displaystyle 4}$ является константой относительно ${\displaystyle x}$, производная ${\displaystyle 4y^3}$ по ${\displaystyle x}$ равна ${\displaystyle 4\frac{d}{dx}\left[y^3\right]}$.

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[f\left(g\left(x\right)\right)\right]}$ имеет вид ${\displaystyle f\prime \left(g\left(x\right)\right)g\prime \left(x\right)}$, где ${\displaystyle f\left(x\right)=x^3}$ и ${\displaystyle g\left(x\right)=y}$.

Перепишем ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[y\right]}$ в виде ${\displaystyle y\mathrm{<mo>\prime </mo>}}$.

Умножим ${\displaystyle 3}$ на ${\displaystyle 4}$.

Вычтем ${\displaystyle 8y^{7}x}$ из обеих частей уравнения.

Добавим ${\displaystyle 2}$ к обеим частям уравнения.

Вынесем множитель ${\displaystyle 4y^{2}y\mathrm{<mo>\prime </mo>}}$ из ${\displaystyle 28y^6{x}^{2}y\mathrm{<mo>\prime </mo>}}$.

Вынесем множитель ${\displaystyle 4y^{2}y\mathrm{<mo>\prime </mo>}}$ из ${\displaystyle -12y^{2}y\mathrm{<mo>\prime </mo>}}$.

Вынесем множитель ${\displaystyle 4y^{2}y\mathrm{<mo>\prime </mo>}}$ из ${\displaystyle 4y^{2}y\mathrm{<mo>\prime </mo>}\left(7y^4{x}^2\right)+4y^{2}y\mathrm{<mo>\prime </mo>}\cdot -3}$.

Разделим каждый член ${\displaystyle 4y^{2}y\mathrm{<mo>\prime </mo>}(7y^4{x}^2-3)=5x^4-8y^{7}x+2}$ на ${\displaystyle 4y^2(7y^4{x}^2-3)}$.

Упростим левую часть.

Упростим правую часть.