Математический анализ Примеры

$lim_{x \to - 2} \frac{3 e^{- 2 - x} - 3}{2 x^{2} - 8}$

Этап 1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to - 2} 3 e^{- 2 - x} - 3}{lim_{x \to - 2} 2 x^{2} - 8}$

Этап 1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $- 2$ .

$\frac{lim_{x \to - 2} 3 e^{- 2 - x} - lim_{x \to - 2} 3}{lim_{x \to - 2} 2 x^{2} - 8}$

Этап 1.2.2

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{3 lim_{x \to - 2} e^{- 2 - x} - lim_{x \to - 2} 3}{lim_{x \to - 2} 2 x^{2} - 8}$

Этап 1.2.3

Внесем предел под знак экспоненты.

$\frac{3 e^{lim_{x \to - 2} - 2 - x} - lim_{x \to - 2} 3}{lim_{x \to - 2} 2 x^{2} - 8}$

Этап 1.2.4

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $- 2$ .

$\frac{3 e^{- lim_{x \to - 2} 2 - lim_{x \to - 2} x} - lim_{x \to - 2} 3}{lim_{x \to - 2} 2 x^{2} - 8}$

Этап 1.2.5

Найдем предел $2$ , который является константой по мере приближения $x$ к $- 2$ .

$\frac{3 e^{- 1 \cdot 2 - lim_{x \to - 2} x} - lim_{x \to - 2} 3}{lim_{x \to - 2} 2 x^{2} - 8}$

Этап 1.2.6

Найдем предел $3$ , который является константой по мере приближения $x$ к $- 2$ .

$\frac{3 e^{- 1 \cdot 2 - lim_{x \to - 2} x} - 1 \cdot 3}{lim_{x \to - 2} 2 x^{2} - 8}$

Этап 1.2.7

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.7.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $- 2$ для $x$ .

$\frac{3 e^{- 1 \cdot 2 + 2} - 1 \cdot 3}{lim_{x \to - 2} 2 x^{2} - 8}$

Этап 1.2.7.2

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.7.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.7.2.1.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{3 e^{- 2 + 2} - 1 \cdot 3}{lim_{x \to - 2} 2 x^{2} - 8}$

Этап 1.2.7.2.1.2

Добавим $- 2$ и $2$ .

$\frac{3 e^{0} - 1 \cdot 3}{lim_{x \to - 2} 2 x^{2} - 8}$

Этап 1.2.7.2.1.3

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$\frac{3 \cdot 1 - 1 \cdot 3}{lim_{x \to - 2} 2 x^{2} - 8}$

Этап 1.2.7.2.1.4

Умножим $3$ на $1$ .

$\frac{3 - 1 \cdot 3}{lim_{x \to - 2} 2 x^{2} - 8}$

Этап 1.2.7.2.1.5

Умножим $- 1$ на $3$ .

$\frac{3 - 3}{lim_{x \to - 2} 2 x^{2} - 8}$

Этап 1.2.7.2.2

Вычтем $3$ из $3$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 2} 2 x^{2} - 8}$

Этап 1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $- 2$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 2} 2 x^{2} - lim_{x \to - 2} 8}$

Этап 1.3.1.2

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{0}{2 lim_{x \to - 2} x^{2} - lim_{x \to - 2} 8}$

Этап 1.3.1.3

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{0}{2 {(lim_{x \to - 2} x)}^{2} - lim_{x \to - 2} 8}$

Этап 1.3.1.4

Найдем предел $8$ , который является константой по мере приближения $x$ к $- 2$ .

$\frac{0}{2 {(lim_{x \to - 2} x)}^{2} - 1 \cdot 8}$

Этап 1.3.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $- 2$ для $x$ .

$\frac{0}{2 {(- 2)}^{2} - 1 \cdot 8}$

Этап 1.3.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1.1

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$\frac{0}{2 \cdot 4 - 1 \cdot 8}$

Этап 1.3.3.1.2

Умножим $2$ на $4$ .

$\frac{0}{8 - 1 \cdot 8}$

Этап 1.3.3.1.3

Умножим $- 1$ на $8$ .

$\frac{0}{8 - 8}$

Этап 1.3.3.2

Вычтем $8$ из $8$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 1.3.3.3

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.3.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to - 2} \frac{3 e^{- 2 - x} - 3}{2 x^{2} - 8} = lim_{x \to - 2} \frac{\frac{d}{d x} [3 e^{- 2 - x} - 3]}{\frac{d}{d x} [2 x^{2} - 8]}$

Этап 3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{d}{d x} [3 e^{- 2 - x} - 3]}{\frac{d}{d x} [2 x^{2} - 8]}$

Этап 3.2

По правилу суммы производная $3 e^{- 2 - x} - 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 e^{- 2 - x}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{d}{d x} [3 e^{- 2 - x}] + \frac{d}{d x} [- 3]}{\frac{d}{d x} [2 x^{2} - 8]}$

Этап 3.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 e^{- 2 - x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 e^{- 2 - x}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [e^{- 2 - x}]$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{3 \frac{d}{d x} [e^{- 2 - x}] + \frac{d}{d x} [- 3]}{\frac{d}{d x} [2 x^{2} - 8]}$

Этап 3.3.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = - 2 - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $- 2 - x$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{3 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 2 - x]) + \frac{d}{d x} [- 3]}{\frac{d}{d x} [2 x^{2} - 8]}$

Этап 3.3.2.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ имеет вид $a^{u} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{3 (e^{u} \frac{d}{d x} [- 2 - x]) + \frac{d}{d x} [- 3]}{\frac{d}{d x} [2 x^{2} - 8]}$

Этап 3.3.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $- 2 - x$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{3 (e^{- 2 - x} \frac{d}{d x} [- 2 - x]) + \frac{d}{d x} [- 3]}{\frac{d}{d x} [2 x^{2} - 8]}$

Этап 3.3.3

По правилу суммы производная $- 2 - x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- 2] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{3 (e^{- 2 - x} (\frac{d}{d x} [- 2] + \frac{d}{d x} [- x])) + \frac{d}{d x} [- 3]}{\frac{d}{d x} [2 x^{2} - 8]}$

Этап 3.3.4

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{3 (e^{- 2 - x} (0 + \frac{d}{d x} [- x])) + \frac{d}{d x} [- 3]}{\frac{d}{d x} [2 x^{2} - 8]}$

Этап 3.3.5

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{3 (e^{- 2 - x} (0 - \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [- 3]}{\frac{d}{d x} [2 x^{2} - 8]}$

Этап 3.3.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{3 (e^{- 2 - x} (0 - 1 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [- 3]}{\frac{d}{d x} [2 x^{2} - 8]}$

Этап 3.3.7

Умножим $- 1$ на $1$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{3 (e^{- 2 - x} (0 - 1)) + \frac{d}{d x} [- 3]}{\frac{d}{d x} [2 x^{2} - 8]}$

Этап 3.3.8

Вычтем $1$ из $0$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{3 (e^{- 2 - x} \cdot - 1) + \frac{d}{d x} [- 3]}{\frac{d}{d x} [2 x^{2} - 8]}$

Этап 3.3.9

Перенесем $- 1$ влево от $e^{- 2 - x}$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{3 (- 1 e^{- 2 - x}) + \frac{d}{d x} [- 3]}{\frac{d}{d x} [2 x^{2} - 8]}$

Этап 3.3.10

Перепишем $- 1 e^{- 2 - x}$ в виде $- e^{- 2 - x}$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{3 (- e^{- 2 - x}) + \frac{d}{d x} [- 3]}{\frac{d}{d x} [2 x^{2} - 8]}$

Этап 3.3.11

Умножим $- 1$ на $3$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{- 3 e^{- 2 - x} + \frac{d}{d x} [- 3]}{\frac{d}{d x} [2 x^{2} - 8]}$

Этап 3.4

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{- 3 e^{- 2 - x} + 0}{\frac{d}{d x} [2 x^{2} - 8]}$

Этап 3.5

Добавим $- 3 e^{- 2 - x}$ и $0$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{- 3 e^{- 2 - x}}{\frac{d}{d x} [2 x^{2} - 8]}$

Этап 3.6

По правилу суммы производная $2 x^{2} - 8$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{- 3 e^{- 2 - x}}{\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8]}$

Этап 3.7

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x^{2}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{- 3 e^{- 2 - x}}{2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8]}$

Этап 3.7.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{- 3 e^{- 2 - x}}{2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 8]}$

Этап 3.7.3

Умножим $2$ на $2$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{- 3 e^{- 2 - x}}{4 x + \frac{d}{d x} [- 8]}$

Этап 3.8

Поскольку $- 8$ является константой относительно $x$ , производная $- 8$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{- 3 e^{- 2 - x}}{4 x + 0}$

Этап 3.9

Добавим $4 x$ и $0$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{- 3 e^{- 2 - x}}{4 x}$

Этап 4

Вынесем член $\frac{- 3}{4}$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{- 3}{4} lim_{x \to - 2} \frac{e^{- 2 - x}}{x}$

Этап 5

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $- 2$ .

$\frac{- 3}{4} \cdot \frac{lim_{x \to - 2} e^{- 2 - x}}{lim_{x \to - 2} x}$

Этап 6

Внесем предел под знак экспоненты.

$\frac{- 3}{4} \cdot \frac{e^{lim_{x \to - 2} - 2 - x}}{lim_{x \to - 2} x}$

Этап 7

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $- 2$ .

$\frac{- 3}{4} \cdot \frac{e^{- lim_{x \to - 2} 2 - lim_{x \to - 2} x}}{lim_{x \to - 2} x}$

Этап 8

Найдем предел $2$ , который является константой по мере приближения $x$ к $- 2$ .

$\frac{- 3}{4} \cdot \frac{e^{- 1 \cdot 2 - lim_{x \to - 2} x}}{lim_{x \to - 2} x}$

Этап 9

Найдем значения пределов, подставив значение $- 2$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $- 2$ для $x$ .

$\frac{- 3}{4} \cdot \frac{e^{- 1 \cdot 2 + 2}}{lim_{x \to - 2} x}$

Этап 9.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $- 2$ для $x$ .

$\frac{- 3}{4} \cdot \frac{e^{- 1 \cdot 2 + 2}}{- 2}$

Этап 10

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Объединим.

$\frac{- 3 e^{- 1 \cdot 2 + 2}}{4 \cdot - 2}$

Этап 10.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{- 3 e^{- 2 + 2}}{4 \cdot - 2}$

Этап 10.2.2

Добавим $- 2$ и $2$ .

$\frac{- 3 e^{0}}{4 \cdot - 2}$

Этап 10.2.3

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$\frac{- 3 \cdot 1}{4 \cdot - 2}$

Этап 10.3

Умножим $4$ на $- 2$ .

$\frac{- 3 \cdot 1}{- 8}$

Этап 10.4

Умножим $- 3$ на $1$ .

$\frac{- 3}{- 8}$

Этап 10.5

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{3}{8}$