Математический анализ Примеры

$\int 5 u^{2} {(3 + 2 u^{3})}^{\frac{2}{3}} d u$

Этап 1

Поскольку $5$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $5$ из-под знака интеграла.

$5 \int u^{2} {(3 + 2 u^{3})}^{\frac{2}{3}} d u$

Этап 2

Пусть $u_{1} = 3 + 2 u^{3}$ . Тогда $d u_{1} = 6 u^{2} d u$ , следовательно $\frac{1}{6} d u_{1} = u^{2} d u$ . Перепишем, используя $u_{1}$ и $d$ $u_{1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть $u_{1} = 3 + 2 u^{3}$ . Найдем $\frac{d u_{1}}{d u}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Дифференцируем $3 + 2 u^{3}$ .

$\frac{d}{d u} [3 + 2 u^{3}]$

Этап 2.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

По правилу суммы производная $3 + 2 u^{3}$ по $u$ имеет вид $\frac{d}{d u} [3] + \frac{d}{d u} [2 u^{3}]$ .

$\frac{d}{d u} [3] + \frac{d}{d u} [2 u^{3}]$

Этап 2.1.2.2

Поскольку $3$ является константой относительно $u$ , производная $3$ относительно $u$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d u} [2 u^{3}]$

Этап 2.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d u} [2 u^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Поскольку $2$ является константой относительно $u$ , производная $2 u^{3}$ по $u$ равна $2 \frac{d}{d u} [u^{3}]$ .

$0 + 2 \frac{d}{d u} [u^{3}]$

Этап 2.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$0 + 2 (3 u^{2})$

Этап 2.1.3.3

Умножим $3$ на $2$ .

$0 + 6 u^{2}$

Этап 2.1.4

Добавим $0$ и $6 u^{2}$ .

$6 u^{2}$

Этап 2.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{1}$ и $d u_{1}$ .

$5 \int {u_{1}}^{\frac{2}{3}} \frac{1}{6} d u_{1}$

Этап 3

Объединим ${u_{1}}^{\frac{2}{3}}$ и $\frac{1}{6}$ .

$5 \int \frac{{u_{1}}^{\frac{2}{3}}}{6} d u_{1}$

Этап 4

Поскольку $\frac{1}{6}$ — константа по отношению к $u_{1}$ , вынесем $\frac{1}{6}$ из-под знака интеграла.

$5 (\frac{1}{6} \int {u_{1}}^{\frac{2}{3}} d u_{1})$

Этап 5

Объединим $\frac{1}{6}$ и $5$ .

$\frac{5}{6} \int {u_{1}}^{\frac{2}{3}} d u_{1}$

Этап 6

По правилу степени интеграл ${u_{1}}^{\frac{2}{3}}$ по $u_{1}$ имеет вид $\frac{3}{5} {u_{1}}^{\frac{5}{3}}$ .

$\frac{5}{6} (\frac{3}{5} {u_{1}}^{\frac{5}{3}} + C)$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Перепишем $\frac{5}{6} (\frac{3}{5} {u_{1}}^{\frac{5}{3}} + C)$ в виде $\frac{5}{6} \cdot \frac{3}{5} {u_{1}}^{\frac{5}{3}} + C$ .

$\frac{5}{6} \cdot \frac{3}{5} {u_{1}}^{\frac{5}{3}} + C$

Этап 7.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Умножим $\frac{5}{6}$ на $\frac{3}{5}$ .

$\frac{5 \cdot 3}{6 \cdot 5} {u_{1}}^{\frac{5}{3}} + C$

Этап 7.2.2

Умножим $5$ на $3$ .

$\frac{15}{6 \cdot 5} {u_{1}}^{\frac{5}{3}} + C$

Этап 7.2.3

Умножим $6$ на $5$ .

$\frac{15}{30} {u_{1}}^{\frac{5}{3}} + C$

Этап 7.2.4

Сократим общий множитель $15$ и $30$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.4.1

Вынесем множитель $15$ из $15$ .

$\frac{15 (1)}{30} {u_{1}}^{\frac{5}{3}} + C$

Этап 7.2.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.4.2.1

Вынесем множитель $15$ из $30$ .

$\frac{15 \cdot 1}{15 \cdot 2} {u_{1}}^{\frac{5}{3}} + C$

Этап 7.2.4.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{15 \cdot 1}{15 \cdot 2} {u_{1}}^{\frac{5}{3}} + C$

Этап 7.2.4.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{5}{3}} + C$

Этап 8

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $3 + 2 u^{3}$ .

$\frac{1}{2} {(3 + 2 u^{3})}^{\frac{5}{3}} + C$