Математический анализ Примеры

$\int_{2}^{\infty} 2 e^{- 2 x - 4} d x$

Этап 1

Запишем интеграл в виде предела, когда $t$ стремится к $\infty$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{2}^{t} 2 e^{- 2 x - 4} d x$

Этап 2

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$lim_{t \to \infty} 2 \int_{2}^{t} e^{- 2 x - 4} d x$

Этап 3

Пусть $u = - 2 x - 4$ . Тогда $d u = - 2 d x$ , следовательно $- \frac{1}{2} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Пусть $u = - 2 x - 4$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Дифференцируем $- 2 x - 4$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 x - 4]$

Этап 3.1.2

По правилу суммы производная $- 2 x - 4$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Этап 3.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.1

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 x$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Этап 3.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4]$

Этап 3.1.3.3

Умножим $- 2$ на $1$ .

$- 2 + \frac{d}{d x} [- 4]$

Этап 3.1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.4.1

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4$ относительно $x$ равна $0$ .

$- 2 + 0$

Этап 3.1.4.2

Добавим $- 2$ и $0$ .

$- 2$

Этап 3.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u = - 2 x - 4$ .

$u_{lower} = - 2 \cdot 2 - 4$

Этап 3.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Умножим $- 2$ на $2$ .

$u_{lower} = - 4 - 4$

Этап 3.3.2

Вычтем $4$ из $- 4$ .

$u_{lower} = - 8$

Этап 3.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u = - 2 x - 4$ .

$u_{upper} = - 2 t - 4$

Этап 3.5

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = - 8$

$u_{upper} = - 2 t - 4$

Этап 3.6

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$lim_{t \to \infty} 2 \int_{- 8}^{- 2 t - 4} e^{u} \frac{1}{- 2} d u$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$lim_{t \to \infty} 2 \int_{- 8}^{- 2 t - 4} e^{u} (- \frac{1}{2}) d u$

Этап 4.2

Объединим $e^{u}$ и $\frac{1}{2}$ .

$lim_{t \to \infty} 2 \int_{- 8}^{- 2 t - 4} - \frac{e^{u}}{2} d u$

Этап 5

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$lim_{t \to \infty} 2 (- \int_{- 8}^{- 2 t - 4} \frac{e^{u}}{2} d u)$

Этап 6

Умножим $- 1$ на $2$ .

$lim_{t \to \infty} - 2 \int_{- 8}^{- 2 t - 4} \frac{e^{u}}{2} d u$

Этап 7

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$lim_{t \to \infty} - 2 (\frac{1}{2} \int_{- 8}^{- 2 t - 4} e^{u} d u)$

Этап 8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $- 2$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{- 2}{2} \int_{- 8}^{- 2 t - 4} e^{u} d u$

Этап 8.2

Сократим общий множитель $- 2$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{2 \cdot - 1}{2} \int_{- 8}^{- 2 t - 4} e^{u} d u$

Этап 8.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} \int_{- 8}^{- 2 t - 4} e^{u} d u$

Этап 8.2.2.2

Сократим общий множитель.

$lim_{t \to \infty} \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} \int_{- 8}^{- 2 t - 4} e^{u} d u$

Этап 8.2.2.3

Перепишем это выражение.

$lim_{t \to \infty} \frac{- 1}{1} \int_{- 8}^{- 2 t - 4} e^{u} d u$

Этап 8.2.2.4

Разделим $- 1$ на $1$ .

$lim_{t \to \infty} - \int_{- 8}^{- 2 t - 4} e^{u} d u$

Этап 9

Интеграл $e^{u}$ по $u$ имеет вид $e^{u}$ .

$lim_{t \to \infty} - (e^{u}]_{- 8}^{- 2 t - 4})$

Этап 10

Найдем значение $e^{u}$ в $- 2 t - 4$ и в $- 8$ .

$lim_{t \to \infty} - (e^{- 2 t - 4} - e^{- 8})$

Этап 11

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.1

Вынесем член $- 1$ из-под знака предела, так как он не зависит от $t$ .

$- lim_{t \to \infty} e^{- 2 t - 4} - e^{- 8}$

Этап 11.1.2

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $t$ к $\infty$ .

$- (lim_{t \to \infty} e^{- 2 t - 4} - lim_{t \to \infty} e^{- 8})$

Этап 11.2

Поскольку показатель степени $- 2 t - 4$ стремится к $- \infty$ , величина $e^{- 2 t - 4}$ стремится к $0$ .

$- (0 - lim_{t \to \infty} e^{- 8})$

Этап 11.3

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.1

Найдем предел $e^{- 8}$ , который является константой по мере приближения $t$ к $\infty$ .

$- (0 - e^{- 8})$

Этап 11.3.2

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.2.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- (0 - \frac{1}{e^{8}})$

Этап 11.3.2.2

Вычтем $\frac{1}{e^{8}}$ из $0$ .

$- - \frac{1}{e^{8}}$

Этап 11.3.2.3

Умножим $- - \frac{1}{e^{8}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.2.3.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 \frac{1}{e^{8}}$

Этап 11.3.2.3.2

Умножим $\frac{1}{e^{8}}$ на $1$ .

$\frac{1}{e^{8}}$

Этап 12

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{1}{e^{8}}$

Десятичная форма:

$0.00033546 \dots$