Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{\sin (x)}{1 + \cos^{2} (x)} d x$

Этап 1

Пусть $u = \cos (x)$ . Тогда $d u = - \sin (x) d x$ , следовательно $- d u = \sin (x) d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u = \cos (x)$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $\cos (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Этап 1.1.2

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$- \sin (x)$

Этап 1.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u = \cos (x)$ .

$u_{lower} = \cos (0)$

Этап 1.3

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$u_{lower} = 1$

Этап 1.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u = \cos (x)$ .

$u_{upper} = \cos (\frac{π}{2})$

Этап 1.5

Точное значение $\cos (\frac{π}{2})$ : $0$ .

$u_{upper} = 0$

Этап 1.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 0$

Этап 1.7

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$\int_{1}^{0} \frac{- 1}{1 + u^{2}} d u$

Этап 2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\int_{1}^{0} - \frac{1}{1 + u^{2}} d u$

Этап 3

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \int_{1}^{0} \frac{1}{1 + u^{2}} d u$

Этап 4

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$- \int_{1}^{0} \frac{1}{1^{2} + u^{2}} d u$

Этап 5

Интеграл $\frac{1}{1^{2} + u^{2}}$ по $u$ имеет вид $\arctan (u)]_{1}^{0}$ .

$- (\arctan (u)]_{1}^{0})$

Этап 6

Найдем значение $\arctan (u)$ в $0$ и в $1$ .

$- (\arctan (0) - \arctan (1))$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Точное значение $\arctan (0)$ : $0$ .

$- (0 - \arctan (1))$

Этап 7.1.2

Точное значение $\arctan (1)$ : $\frac{π}{4}$ .

$- (0 - \frac{π}{4})$

Этап 7.2

Вычтем $\frac{π}{4}$ из $0$ .

$- - \frac{π}{4}$

Этап 7.3

Умножим $- - \frac{π}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 \frac{π}{4}$

Этап 7.3.2

Умножим $\frac{π}{4}$ на $1$ .

$\frac{π}{4}$

Этап 8

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{π}{4}$

Десятичная форма:

$0.78539816 \dots$