Математический анализ Примеры

$f (x) = x^{4} - 8 x^{2} + 2$ on $[- 3, 1]$

Этап 1

Найдем критические точки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1.1

По правилу суммы производная $x^{4} - 8 x^{2} + 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 1.1.1.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 1.1.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 8 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.2.1

Поскольку $- 8$ является константой относительно $x$ , производная $- 8 x^{2}$ по $x$ равна $- 8 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 x^{3} - 8 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 1.1.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$4 x^{3} - 8 (2 x) + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 1.1.1.2.3

Умножим $2$ на $- 8$ .

$4 x^{3} - 16 x + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 1.1.1.3

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.3.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2$ относительно $x$ равна $0$ .

$4 x^{3} - 16 x + 0$

Этап 1.1.1.3.2

Добавим $4 x^{3} - 16 x$ и $0$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 16 x$

Этап 1.1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $4 x^{3} - 16 x$ .

$4 x^{3} - 16 x$

Этап 1.2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $4 x^{3} - 16 x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$4 x^{3} - 16 x = 0$

Этап 1.2.2

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Вынесем множитель $4 x$ из $4 x^{3} - 16 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1.1

Вынесем множитель $4 x$ из $4 x^{3}$ .

$4 x (x^{2}) - 16 x = 0$

Этап 1.2.2.1.2

Вынесем множитель $4 x$ из $- 16 x$ .

$4 x (x^{2}) + 4 x (- 4) = 0$

Этап 1.2.2.1.3

Вынесем множитель $4 x$ из $4 x (x^{2}) + 4 x (- 4)$ .

$4 x (x^{2} - 4) = 0$

Этап 1.2.2.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$4 x (x^{2} - 2^{2}) = 0$

Этап 1.2.2.3

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.3.1

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 2$ .

$4 x ((x + 2) (x - 2)) = 0$

Этап 1.2.2.3.2

Избавимся от ненужных скобок.

$4 x (x + 2) (x - 2) = 0$

Этап 1.2.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$x + 2 = 0$

$x - 2 = 0$

Этап 1.2.4

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 1.2.5

Приравняем $x + 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.1

Приравняем $x + 2$ к $0$ .

$x + 2 = 0$

Этап 1.2.5.2

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$x = - 2$

Этап 1.2.6

Приравняем $x - 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.1

Приравняем $x - 2$ к $0$ .

$x - 2 = 0$

Этап 1.2.6.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$x = 2$

Этап 1.2.7

Окончательным решением являются все значения, при которых $4 x (x + 2) (x - 2) = 0$ верно.

$x = 0, - 2, 2$

Этап 1.3

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 1.4

Вычислим $x^{4} - 8 x^{2} + 2$ для каждого значения $x$ , для которого производная равна $0$ или не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Найдем значение в $x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.1

Подставим $0$ вместо $x$ .

${(0)}^{4} - 8 {(0)}^{2} + 2$

Этап 1.4.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$0 - 8 {(0)}^{2} + 2$

Этап 1.4.1.2.1.2

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$0 - 8 \cdot 0 + 2$

Этап 1.4.1.2.1.3

Умножим $- 8$ на $0$ .

$0 + 0 + 2$

Этап 1.4.1.2.2

Упростим путем добавления чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.2.1

Добавим $0$ и $0$ .

$0 + 2$

Этап 1.4.1.2.2.2

Добавим $0$ и $2$ .

$2$

Этап 1.4.2

Найдем значение в $x = - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1

Подставим $- 2$ вместо $x$ .

${(- 2)}^{4} - 8 {(- 2)}^{2} + 2$

Этап 1.4.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.2.1.1

Возведем $- 2$ в степень $4$ .

$16 - 8 {(- 2)}^{2} + 2$

Этап 1.4.2.2.1.2

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$16 - 8 \cdot 4 + 2$

Этап 1.4.2.2.1.3

Умножим $- 8$ на $4$ .

$16 - 32 + 2$

Этап 1.4.2.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.2.2.1

Вычтем $32$ из $16$ .

$- 16 + 2$

Этап 1.4.2.2.2.2

Добавим $- 16$ и $2$ .

$- 14$

Этап 1.4.3

Найдем значение в $x = 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.3.1

Подставим $2$ вместо $x$ .

${(2)}^{4} - 8 {(2)}^{2} + 2$

Этап 1.4.3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.3.2.1.1

Возведем $2$ в степень $4$ .

$16 - 8 {(2)}^{2} + 2$

Этап 1.4.3.2.1.2

Возведем $2$ в степень $2$ .

$16 - 8 \cdot 4 + 2$

Этап 1.4.3.2.1.3

Умножим $- 8$ на $4$ .

$16 - 32 + 2$

Этап 1.4.3.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.3.2.2.1

Вычтем $32$ из $16$ .

$- 16 + 2$

Этап 1.4.3.2.2.2

Добавим $- 16$ и $2$ .

$- 14$

Этап 1.4.4

Перечислим все точки.

$(0, 2), (- 2, - 14), (2, - 14)$

Этап 2

Исключим точки, которые не принадлежат данному интервалу.

$(0, 2), (- 2, - 14)$

Этап 3

Определим точки возможного максимума или минимума с помощью первой производной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на отдельные интервалы в окрестности значений $x$ , при которых первая производная равна $0$ или не определена.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 0) \cup (0, 2) \cup (2, \infty)$

Этап 3.2

Подставим любое число такое, что $- 4$ , из интервала $(- \infty, - 2)$ в первую производную $4 x^{3} - 16 x$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 4$ .

$f' (- 4) = 4 {(- 4)}^{3} - 16 \cdot - 4$

Этап 3.2.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Возведем $- 4$ в степень $3$ .

$f' (- 4) = 4 \cdot - 64 - 16 \cdot - 4$

Этап 3.2.2.1.2

Умножим $4$ на $- 64$ .

$f' (- 4) = - 256 - 16 \cdot - 4$

Этап 3.2.2.1.3

Умножим $- 16$ на $- 4$ .

$f' (- 4) = - 256 + 64$

Этап 3.2.2.2

Добавим $- 256$ и $64$ .

$f' (- 4) = - 192$

Этап 3.2.2.3

Окончательный ответ: $- 192$ .

$- 192$

Этап 3.3

Подставим любое число такое, что $- 1$ , из интервала $(- 2, 0)$ в первую производную $4 x^{3} - 16 x$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 1$ .

$f' (- 1) = 4 {(- 1)}^{3} - 16 \cdot - 1$

Этап 3.3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$f' (- 1) = 4 \cdot - 1 - 16 \cdot - 1$

Этап 3.3.2.1.2

Умножим $4$ на $- 1$ .

$f' (- 1) = - 4 - 16 \cdot - 1$

Этап 3.3.2.1.3

Умножим $- 16$ на $- 1$ .

$f' (- 1) = - 4 + 16$

Этап 3.3.2.2

Добавим $- 4$ и $16$ .

$f' (- 1) = 12$

Этап 3.3.2.3

Окончательный ответ: $12$ .

$12$

Этап 3.4

Подставим любое число такое, что $1$ , из интервала $(0, 2)$ в первую производную $4 x^{3} - 16 x$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1$ .

$f' (1) = 4 {(1)}^{3} - 16 \cdot 1$

Этап 3.4.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$f' (1) = 4 \cdot 1 - 16 \cdot 1$

Этап 3.4.2.1.2

Умножим $4$ на $1$ .

$f' (1) = 4 - 16 \cdot 1$

Этап 3.4.2.1.3

Умножим $- 16$ на $1$ .

$f' (1) = 4 - 16$

Этап 3.4.2.2

Вычтем $16$ из $4$ .

$f' (1) = - 12$

Этап 3.4.2.3

Окончательный ответ: $- 12$ .

$- 12$

Этап 3.5

Подставим любое число такое, что $4$ , из интервала $(2, \infty)$ в первую производную $4 x^{3} - 16 x$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $4$ .

$f' (4) = 4 {(4)}^{3} - 16 \cdot 4$

Этап 3.5.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1.1

Умножим $4$ на ${(4)}^{3}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1.1.1

Умножим $4$ на ${(4)}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1.1.1.1

Возведем $4$ в степень $1$ .

$f' (4) = 4 {(4)}^{3} - 16 \cdot 4$

Этап 3.5.2.1.1.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f' (4) = 4^{1 + 3} - 16 \cdot 4$

Этап 3.5.2.1.1.2

Добавим $1$ и $3$ .

$f' (4) = 4^{4} - 16 \cdot 4$

Этап 3.5.2.1.2

Возведем $4$ в степень $4$ .

$f' (4) = 256 - 16 \cdot 4$

Этап 3.5.2.1.3

Умножим $- 16$ на $4$ .

$f' (4) = 256 - 64$

Этап 3.5.2.2

Вычтем $64$ из $256$ .

$f' (4) = 192$

Этап 3.5.2.3

Окончательный ответ: $192$ .

$192$

Этап 3.6

Поскольку первая производная меняет знак с отрицательного на положительный в окрестности $x = - 2$ , $x = - 2$ — локальный минимум.

$x = - 2$ — локальный минимум

Этап 3.7

Поскольку первая производная меняет знак с положительного на отрицательный в окрестности $x = 0$ , $x = 0$ — локальный максимум.

$x = 0$ — локальный максимум

Этап 3.8

Поскольку первая производная меняет знак с отрицательного на положительный в окрестности $x = 2$ , $x = 2$ — локальный минимум.

$x = 2$ — локальный минимум

Этап 3.9

Это локальные экстремумы $f (x) = x^{4} - 8 x^{2} + 2$ .

$x = - 2$ — локальный минимум

$x = 0$ — локальный максимум

$x = 2$ — локальный минимум

$x = - 2$ — локальный минимум

$x = 0$ — локальный максимум

$x = 2$ — локальный минимум

Этап 4

Сравним значения $f (x)$ , найденные для каждого значения $x$ , чтобы определить абсолютные максимум и минимум на заданном интервале. Максимум будет наблюдаться при наибольшем значении $f (x)$ , а минимум — при наименьшем значении $f (x)$ .

Абсолютный максимум: $(0, 2)$

Абсолютный минимум: $(- 2, - 14)$

Этап 5