Математический анализ Примеры

$x^{\frac{2}{3}} - 3$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

По правилу суммы производная $x^{\frac{2}{3}} - 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Этап 1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1} + \frac{d}{d x} [- 3]$

Этап 1.2.2

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} + \frac{d}{d x} [- 3]$

Этап 1.2.3

Объединим $- 1$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} [- 3]$

Этап 1.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} [- 3]$

Этап 1.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}} + \frac{d}{d x} [- 3]$

Этап 1.2.5.2

Вычтем $3$ из $2$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}} + \frac{d}{d x} [- 3]$

Этап 1.2.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} + \frac{d}{d x} [- 3]$

Этап 1.3

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} + 0$

Этап 1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} + 0$

Этап 1.4.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1

Умножим $\frac{2}{3}$ на $\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} + 0$

Этап 1.4.2.2

Добавим $\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ и $0$ .

$f' (x) = \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Этап 2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $\frac{2}{3}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ по $x$ равна $\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}]$ .

$\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}]$

Этап 2.2

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Перепишем $\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$ в виде ${(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

$\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}]$

Этап 2.2.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3} \cdot - 1}]$

Этап 2.2.2.2

Объединим $\frac{1}{3}$ и $- 1$ .

$\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{- 1}{3}}]$

Этап 2.2.2.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{3}}]$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - \frac{1}{3}$ .

$\frac{2}{3} (- \frac{1}{3} x^{- \frac{1}{3} - 1})$

Этап 2.4

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} (- \frac{1}{3} x^{- \frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Этап 2.5

Объединим $- 1$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} (- \frac{1}{3} x^{- \frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Этап 2.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2}{3} (- \frac{1}{3} x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 3}{3}})$

Этап 2.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$\frac{2}{3} (- \frac{1}{3} x^{\frac{- 1 - 3}{3}})$

Этап 2.7.2

Вычтем $3$ из $- 1$ .

$\frac{2}{3} (- \frac{1}{3} x^{\frac{- 4}{3}})$

Этап 2.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{2}{3} (- \frac{1}{3} x^{- \frac{4}{3}})$

Этап 2.9

Объединим $x^{- \frac{4}{3}}$ и $\frac{1}{3}$ .

$\frac{2}{3} (- \frac{x^{- \frac{4}{3}}}{3})$

Этап 2.10

Умножим $\frac{2}{3}$ на $\frac{x^{- \frac{4}{3}}}{3}$ .

$- \frac{2 x^{- \frac{4}{3}}}{3 \cdot 3}$

Этап 2.11

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.1

Умножим $3$ на $3$ .

$- \frac{2 x^{- \frac{4}{3}}}{9}$

Этап 2.11.2

Перенесем $x^{- \frac{4}{3}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}}$