Математический анализ Примеры

$lim_{x \to \infty} {(\frac{x - 4}{x + 3})}^{2 x + 1}$

Этап 1

Используем свойства логарифмов, чтобы упростить предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем ${(\frac{x - 4}{x + 3})}^{2 x + 1}$ в виде $e^{\ln ({(\frac{x - 4}{x + 3})}^{2 x + 1})}$ .

$lim_{x \to \infty} e^{\ln ({(\frac{x - 4}{x + 3})}^{2 x + 1})}$

Этап 1.2

Развернем $\ln ({(\frac{x - 4}{x + 3})}^{2 x + 1})$ , вынося $2 x + 1$ из логарифма.

$lim_{x \to \infty} e^{(2 x + 1) \ln (\frac{x - 4}{x + 3})}$

Этап 2

Внесем предел под знак экспоненты.

$e^{lim_{x \to \infty} (2 x + 1) \ln (\frac{x - 4}{x + 3})}$

Этап 3

Перепишем $(2 x + 1) \ln (\frac{x - 4}{x + 3})$ в виде $\frac{\ln (\frac{x - 4}{x + 3})}{\frac{1}{2 x + 1}}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\ln (\frac{x - 4}{x + 3})}{\frac{1}{2 x + 1}}}$

Этап 4

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$e^{\frac{lim_{x \to \infty} \ln (\frac{x - 4}{x + 3})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 x + 1}}}$

Этап 4.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Внесем предел под знак логарифма.

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to \infty} \frac{x - 4}{x + 3})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 x + 1}}}$

Этап 4.1.2.2

Разделим числитель и знаменатель на $x$ в наибольшей степени в знаменателе, т. е. $x$ .

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x} + \frac{- 4}{x}}{\frac{x}{x} + \frac{3}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 x + 1}}}$

Этап 4.1.2.3

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.3.1.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.3.1.1.1

Сократим общий множитель.

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x} + \frac{- 4}{x}}{\frac{x}{x} + \frac{3}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 x + 1}}}$

Этап 4.1.2.3.1.1.2

Перепишем это выражение.

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{- 4}{x}}{\frac{x}{x} + \frac{3}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 x + 1}}}$

Этап 4.1.2.3.1.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to \infty} \frac{1 - \frac{4}{x}}{\frac{x}{x} + \frac{3}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 x + 1}}}$

Этап 4.1.2.3.2

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.3.2.1

Сократим общий множитель.

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to \infty} \frac{1 - \frac{4}{x}}{\frac{x}{x} + \frac{3}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 x + 1}}}$

Этап 4.1.2.3.2.2

Перепишем это выражение.

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to \infty} \frac{1 - \frac{4}{x}}{1 + \frac{3}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 x + 1}}}$

Этап 4.1.2.3.3

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $\infty$ .

$e^{\frac{\ln (\frac{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{4}{x}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{3}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 x + 1}}}$

Этап 4.1.2.3.4

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $\infty$ .

$e^{\frac{\ln (\frac{lim_{x \to \infty} 1 - lim_{x \to \infty} \frac{4}{x}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{3}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 x + 1}}}$

Этап 4.1.2.3.5

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\infty$ .

$e^{\frac{\ln (\frac{1 - lim_{x \to \infty} \frac{4}{x}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{3}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 x + 1}}}$

Этап 4.1.2.3.6

Вынесем член $4$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$e^{\frac{\ln (\frac{1 - 4 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{3}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 x + 1}}}$

Этап 4.1.2.4

Поскольку числитель стремится к вещественному числу, а знаменатель неограничен, дробь $\frac{1}{x}$ стремится к $0$ .

$e^{\frac{\ln (\frac{1 - 4 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{3}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 x + 1}}}$

Этап 4.1.2.5

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.5.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $\infty$ .

$e^{\frac{\ln (\frac{1 - 4 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} 1 + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 x + 1}}}$

Этап 4.1.2.5.2

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\infty$ .

$e^{\frac{\ln (\frac{1 - 4 \cdot 0}{1 + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 x + 1}}}$

Этап 4.1.2.5.3

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$e^{\frac{\ln (\frac{1 - 4 \cdot 0}{1 + 3 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 x + 1}}}$

Этап 4.1.2.6

$e^{\frac{\ln (\frac{1 - 4 \cdot 0}{1 + 3 \cdot 0})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 x + 1}}}$

Этап 4.1.2.7

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.7.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.7.1.1

Умножим $- 4$ на $0$ .

$e^{\frac{\ln (\frac{1 + 0}{1 + 3 \cdot 0})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 x + 1}}}$

Этап 4.1.2.7.1.2

Добавим $1$ и $0$ .

$e^{\frac{\ln (\frac{1}{1 + 3 \cdot 0})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 x + 1}}}$

Этап 4.1.2.7.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.7.2.1

Умножим $3$ на $0$ .

$e^{\frac{\ln (\frac{1}{1 + 0})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 x + 1}}}$

Этап 4.1.2.7.2.2

Добавим $1$ и $0$ .

$e^{\frac{\ln (\frac{1}{1})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 x + 1}}}$

Этап 4.1.2.7.3

Разделим $1$ на $1$ .

$e^{\frac{\ln (1)}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 x + 1}}}$

Этап 4.1.2.7.4

Натуральный логарифм $1$ равен $0$ .

$e^{\frac{0}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 x + 1}}}$

Этап 4.1.3

Поскольку числитель стремится к вещественному числу, а знаменатель неограничен, дробь $\frac{1}{2 x + 1}$ стремится к $0$ .

$e^{\frac{0}{0}}$

Этап 4.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$e^{\frac{0}{0}}$

Этап 4.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (\frac{x - 4}{x + 3})}{\frac{1}{2 x + 1}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\frac{x - 4}{x + 3})]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x + 1}]}$

Этап 4.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\frac{x - 4}{x + 3})]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x + 1}]}}$

Этап 4.3.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = \frac{x - 4}{x + 3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\frac{x - 4}{x + 3}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x - 4}{x + 3}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x + 1}]}}$

Этап 4.3.2.2

Производная $\ln (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{u}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\frac{x - 4}{x + 3}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x + 1}]}}$

Этап 4.3.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $\frac{x - 4}{x + 3}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{\frac{x - 4}{x + 3}} \frac{d}{d x} [\frac{x - 4}{x + 3}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x + 1}]}}$

Этап 4.3.3

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на $\frac{x - 4}{x + 3}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{1 \frac{x + 3}{x - 4} \frac{d}{d x} [\frac{x - 4}{x + 3}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x + 1}]}}$

Этап 4.3.4

Умножим $\frac{x + 3}{x - 4}$ на $1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x + 3}{x - 4} \frac{d}{d x} [\frac{x - 4}{x + 3}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x + 1}]}}$

Этап 4.3.5

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x - 4$ и $g (x) = x + 3$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x + 3}{x - 4} \cdot \frac{(x + 3) \frac{d}{d x} [x - 4] - (x - 4) \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x + 1}]}}$

Этап 4.3.6

По правилу суммы производная $x - 4$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x + 3}{x - 4} \cdot \frac{(x + 3) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]) - (x - 4) \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x + 1}]}}$

Этап 4.3.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x + 3}{x - 4} \cdot \frac{(x + 3) (1 + \frac{d}{d x} [- 4]) - (x - 4) \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x + 1}]}}$

Этап 4.3.8

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4$ относительно $x$ равна $0$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x + 3}{x - 4} \cdot \frac{(x + 3) (1 + 0) - (x - 4) \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x + 1}]}}$

Этап 4.3.9

Добавим $1$ и $0$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x + 3}{x - 4} \cdot \frac{(x + 3) \cdot 1 - (x - 4) \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x + 1}]}}$

Этап 4.3.10

Умножим $x + 3$ на $1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x + 3}{x - 4} \cdot \frac{x + 3 - (x - 4) \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x + 1}]}}$

Этап 4.3.11

По правилу суммы производная $x + 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x + 3}{x - 4} \cdot \frac{x + 3 - (x - 4) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])}{{(x + 3)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x + 1}]}}$

Этап 4.3.12

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x + 3}{x - 4} \cdot \frac{x + 3 - (x - 4) (1 + \frac{d}{d x} [3])}{{(x + 3)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x + 1}]}}$

Этап 4.3.13

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3$ относительно $x$ равна $0$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x + 3}{x - 4} \cdot \frac{x + 3 - (x - 4) (1 + 0)}{{(x + 3)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x + 1}]}}$

Этап 4.3.14

Добавим $1$ и $0$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x + 3}{x - 4} \cdot \frac{x + 3 - (x - 4) \cdot 1}{{(x + 3)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x + 1}]}}$

Этап 4.3.15

Умножим $- 1$ на $1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x + 3}{x - 4} \cdot \frac{x + 3 - (x - 4)}{{(x + 3)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x + 1}]}}$

Этап 4.3.16

Умножим $\frac{x + 3}{x - 4}$ на $\frac{x + 3 - (x - 4)}{{(x + 3)}^{2}}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{(x + 3) (x + 3 - (x - 4))}{(x - 4) {(x + 3)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x + 1}]}}$

Этап 4.3.17

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.17.1

Вынесем множитель $x + 3$ из $(x - 4) {(x + 3)}^{2}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{(x + 3) (x + 3 - (x - 4))}{(x + 3) (x - 4) (x + 3)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x + 1}]}}$

Этап 4.3.17.2

Сократим общий множитель.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{(x + 3) (x + 3 - (x - 4))}{(x + 3) (x - 4) (x + 3)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x + 1}]}}$

Этап 4.3.17.3

Перепишем это выражение.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x + 3 - (x - 4)}{(x - 4) (x + 3)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x + 1}]}}$

Этап 4.3.18

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.18.1

Применим свойство дистрибутивности.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x + 3 - x - - 4}{(x - 4) (x + 3)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x + 1}]}}$

Этап 4.3.18.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.18.2.1

Объединим противоположные члены в $x + 3 - x - - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.18.2.1.1

Вычтем $x$ из $x$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{0 + 3 - - 4}{(x - 4) (x + 3)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x + 1}]}}$

Этап 4.3.18.2.1.2

Добавим $0$ и $3$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3 - - 4}{(x - 4) (x + 3)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x + 1}]}}$

Этап 4.3.18.2.2

Умножим $- 1$ на $- 4$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3 + 4}{(x - 4) (x + 3)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x + 1}]}}$

Этап 4.3.18.2.3

Добавим $3$ и $4$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{7}{(x - 4) (x + 3)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x + 1}]}}$

Этап 4.3.18.3

Изменим порядок членов.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{7}{(x + 3) (x - 4)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x + 1}]}}$

Этап 4.3.19

Перепишем $\frac{1}{2 x + 1}$ в виде ${(2 x + 1)}^{- 1}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{7}{(x + 3) (x - 4)}}{\frac{d}{d x} [{(2 x + 1)}^{- 1}]}}$

Этап 4.3.20

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.20.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $2 x + 1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{7}{(x + 3) (x - 4)}}{\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [2 x + 1]}}$

Этап 4.3.20.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{7}{(x + 3) (x - 4)}}{- u^{- 2} \frac{d}{d x} [2 x + 1]}}$

Этап 4.3.20.3

Заменим все вхождения $u$ на $2 x + 1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{7}{(x + 3) (x - 4)}}{- {(2 x + 1)}^{- 2} \frac{d}{d x} [2 x + 1]}}$

Этап 4.3.21

По правилу суммы производная $2 x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{7}{(x + 3) (x - 4)}}{- {(2 x + 1)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1])}}$

Этап 4.3.22

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{7}{(x + 3) (x - 4)}}{- {(2 x + 1)}^{- 2} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}}$

Этап 4.3.23

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{7}{(x + 3) (x - 4)}}{- {(2 x + 1)}^{- 2} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])}}$

Этап 4.3.24

Умножим $2$ на $1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{7}{(x + 3) (x - 4)}}{- {(2 x + 1)}^{- 2} (2 + \frac{d}{d x} [1])}}$

Этап 4.3.25

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{7}{(x + 3) (x - 4)}}{- {(2 x + 1)}^{- 2} (2 + 0)}}$

Этап 4.3.26

Добавим $2$ и $0$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{7}{(x + 3) (x - 4)}}{- {(2 x + 1)}^{- 2} \cdot 2}}$

Этап 4.3.27

Умножим $2$ на $- 1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{7}{(x + 3) (x - 4)}}{- 2 {(2 x + 1)}^{- 2}}}$

Этап 4.3.28

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.28.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{7}{(x + 3) (x - 4)}}{- 2 \frac{1}{{(2 x + 1)}^{2}}}}$

Этап 4.3.28.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.28.2.1

Объединим $- 2$ и $\frac{1}{{(2 x + 1)}^{2}}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{7}{(x + 3) (x - 4)}}{\frac{- 2}{{(2 x + 1)}^{2}}}}$

Этап 4.3.28.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{7}{(x + 3) (x - 4)}}{- \frac{2}{{(2 x + 1)}^{2}}}}$

Этап 4.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{7}{(x + 3) (x - 4)} \cdot - 1 \frac{{(2 x + 1)}^{2}}{2}}$

Этап 4.5

Умножим $\frac{7}{(x + 3) (x - 4)}$ на $\frac{{(2 x + 1)}^{2}}{2}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} - \frac{7 {(2 x + 1)}^{2}}{(x + 3) (x - 4) \cdot 2}}$

Этап 4.6

Перенесем $2$ влево от $(x + 3) (x - 4)$ .

$e^{lim_{x \to \infty} - \frac{7 {(2 x + 1)}^{2}}{2 (x + 3) (x - 4)}}$

Этап 5

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Вынесем член $- 1$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$e^{- lim_{x \to \infty} \frac{7 {(2 x + 1)}^{2}}{2 (x + 3) (x - 4)}}$

Этап 5.2

Вынесем член $\frac{7}{2}$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$e^{- \frac{7}{2} lim_{x \to \infty} \frac{{(2 x + 1)}^{2}}{(x + 3) (x - 4)}}$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Развернем $(x + 3) (x - 4)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$e^{- \frac{7}{2} lim_{x \to \infty} \frac{{(2 x + 1)}^{2}}{x (x - 4) + 3 (x - 4)}}$

Этап 6.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$e^{- \frac{7}{2} lim_{x \to \infty} \frac{{(2 x + 1)}^{2}}{x \cdot x + x \cdot - 4 + 3 (x - 4)}}$

Этап 6.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$e^{- \frac{7}{2} lim_{x \to \infty} \frac{{(2 x + 1)}^{2}}{x \cdot x + x \cdot - 4 + 3 x + 3 \cdot - 4}}$

Этап 6.2

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$e^{- \frac{7}{2} lim_{x \to \infty} \frac{{(2 x + 1)}^{2}}{x^{2} + x \cdot - 4 + 3 x + 3 \cdot - 4}}$

Этап 6.2.1.2

Перенесем $- 4$ влево от $x$ .

$e^{- \frac{7}{2} lim_{x \to \infty} \frac{{(2 x + 1)}^{2}}{x^{2} - 4 \cdot x + 3 x + 3 \cdot - 4}}$

Этап 6.2.1.3

Умножим $3$ на $- 4$ .

$e^{- \frac{7}{2} lim_{x \to \infty} \frac{{(2 x + 1)}^{2}}{x^{2} - 4 x + 3 x - 12}}$

Этап 6.2.2

Добавим $- 4 x$ и $3 x$ .

$e^{- \frac{7}{2} lim_{x \to \infty} \frac{{(2 x + 1)}^{2}}{x^{2} - x - 12}}$

Этап 7

Разделим числитель и знаменатель на $x$ в наибольшей степени в знаменателе.

$e^{- \frac{7}{2} lim_{x \to \infty} \frac{{(\frac{2 x}{x} + \frac{1}{x})}^{2}}{\frac{x^{2}}{x^{2}} - \frac{x}{x^{2}} + \frac{- 12}{x^{2}}}}$

Этап 8

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Упростим каждый член.

$e^{- \frac{7}{2} lim_{x \to \infty} \frac{{(\frac{2 x}{x} + \frac{1}{x})}^{2}}{1 - \frac{1}{x} - \frac{12}{x^{2}}}}$

Этап 8.2

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $\infty$ .

$e^{- \frac{7}{2} \cdot \frac{lim_{x \to \infty} {(\frac{2 x}{x} + \frac{1}{x})}^{2}}{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{1}{x} - \frac{12}{x^{2}}}}$

Этап 8.3

Вынесем степень $2$ в выражении ${(\frac{2 x}{x} + \frac{1}{x})}^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$e^{- \frac{7}{2} \cdot \frac{{(lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{x} + \frac{1}{x})}^{2}}{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{1}{x} - \frac{12}{x^{2}}}}$

Этап 8.4

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $\infty$ .

$e^{- \frac{7}{2} \cdot \frac{{(lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x})}^{2}}{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{1}{x} - \frac{12}{x^{2}}}}$

Этап 8.5

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$e^{- \frac{7}{2} \cdot \frac{{(2 lim_{x \to \infty} \frac{x}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x})}^{2}}{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{1}{x} - \frac{12}{x^{2}}}}$

Этап 8.6

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.6.1

Сократим общий множитель.

$e^{- \frac{7}{2} \cdot \frac{{(2 lim_{x \to \infty} \frac{x}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x})}^{2}}{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{1}{x} - \frac{12}{x^{2}}}}$

Этап 8.6.2

Перепишем это выражение.

$e^{- \frac{7}{2} \cdot \frac{{(2 lim_{x \to \infty} 1 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x})}^{2}}{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{1}{x} - \frac{12}{x^{2}}}}$

Этап 8.7

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\infty$ .

$e^{- \frac{7}{2} \cdot \frac{{(2 \cdot 1 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x})}^{2}}{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{1}{x} - \frac{12}{x^{2}}}}$

Этап 9

$e^{- \frac{7}{2} \cdot \frac{{(2 \cdot 1 + 0)}^{2}}{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{1}{x} - \frac{12}{x^{2}}}}$

Этап 10

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $\infty$ .

$e^{- \frac{7}{2} \cdot \frac{{(2 \cdot 1 + 0)}^{2}}{lim_{x \to \infty} 1 - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} - lim_{x \to \infty} \frac{12}{x^{2}}}}$

Этап 10.2

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\infty$ .

$e^{- \frac{7}{2} \cdot \frac{{(2 \cdot 1 + 0)}^{2}}{1 - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} - lim_{x \to \infty} \frac{12}{x^{2}}}}$

Этап 11

$e^{- \frac{7}{2} \cdot \frac{{(2 \cdot 1 + 0)}^{2}}{1 - 0 - lim_{x \to \infty} \frac{12}{x^{2}}}}$

Этап 12

Вынесем член $12$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$e^{- \frac{7}{2} \cdot \frac{{(2 \cdot 1 + 0)}^{2}}{1 - 0 - 12 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}}$

Этап 13

Поскольку числитель стремится к вещественному числу, а знаменатель неограничен, дробь $\frac{1}{x^{2}}$ стремится к $0$ .

$e^{- \frac{7}{2} \cdot \frac{{(2 \cdot 1 + 0)}^{2}}{1 - 0 - 12 \cdot 0}}$

Этап 14

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1.1

Умножим $2$ на $1$ .

$e^{- \frac{7}{2} \cdot \frac{{(2 + 0)}^{2}}{1 - 0 - 12 \cdot 0}}$

Этап 14.1.2

Добавим $2$ и $0$ .

$e^{- \frac{7}{2} \cdot \frac{2^{2}}{1 - 0 - 12 \cdot 0}}$

Этап 14.1.3

Возведем $2$ в степень $2$ .

$e^{- \frac{7}{2} \cdot \frac{4}{1 - 0 - 12 \cdot 0}}$

Этап 14.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.1

Умножим $- 1$ на $0$ .

$e^{- \frac{7}{2} \cdot \frac{4}{1 + 0 - 12 \cdot 0}}$

Этап 14.2.2

Умножим $- 12$ на $0$ .

$e^{- \frac{7}{2} \cdot \frac{4}{1 + 0 + 0}}$

Этап 14.2.3

Добавим $1 + 0$ и $0$ .

$e^{- \frac{7}{2} \cdot \frac{4}{1 + 0}}$

Этап 14.2.4

Добавим $1$ и $0$ .

$e^{- \frac{7}{2} \cdot \frac{4}{1}}$

Этап 14.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.3.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{7}{2}$ в числитель.

$e^{\frac{- 7}{2} \cdot \frac{4}{1}}$

Этап 14.3.2

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$e^{\frac{- 7}{2} \cdot \frac{2 (2)}{1}}$

Этап 14.3.3

Сократим общий множитель.

$e^{\frac{- 7}{2} \cdot \frac{2 \cdot 2}{1}}$

Этап 14.3.4

Перепишем это выражение.

$e^{- 7 \cdot 2}$

Этап 14.4

Умножим $- 7$ на $2$ .

$e^{- 14}$

Этап 15

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{e^{14}}$