Математический анализ Примеры

$\frac{x^{2}}{1 + x}$

Этап 1

Запишем $\frac{x^{2}}{1 + x}$ в виде функции.

$f (x) = \frac{x^{2}}{1 + x}$

Этап 2

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 3

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int \frac{x^{2}}{1 + x} d x$

Этап 4

Изменим порядок $1$ и $x$ .

$\int \frac{x^{2}}{x + 1} d x$

Этап 5

Разделим $x^{2}$ на $x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x$

$1$

$x^{2}$

$0 x$

$0$

Этап 5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

					$x$
	$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$

Этап 5.3

Умножим новое частное на делитель.

				$x$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			+	$x^{2}$	+	$x$

Этап 5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $x^{2} + x$ .

				$x$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$x$

Этап 5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					-	$x$

Этап 5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$x$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					-	$x$	+	$0$

Этап 5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- x$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$x$	-	$1$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					-	$x$	+	$0$

Этап 5.8

Умножим новое частное на делитель.

				$x$	-	$1$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					-	$x$	+	$0$
					-	$x$	-	$1$

Этап 5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- x - 1$ .

				$x$	-	$1$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					-	$x$	+	$0$
					+	$x$	+	$1$

Этап 5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x$	-	$1$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					-	$x$	+	$0$
					+	$x$	+	$1$
							+	$1$

Этап 5.11

Окончательный ответ: неполное частное плюс остаток, деленный на делитель.

$\int x - 1 + \frac{1}{x + 1} d x$

Этап 6

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int x d x + \int - 1 d x + \int \frac{1}{x + 1} d x$

Этап 7

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + \int - 1 d x + \int \frac{1}{x + 1} d x$

Этап 8

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\frac{1}{2} x^{2} + C - x + C + \int \frac{1}{x + 1} d x$

Этап 9

Пусть $u = x + 1$ . Тогда $d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Пусть $u = x + 1$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Дифференцируем $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Этап 9.1.2

По правилу суммы производная $x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 9.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 9.1.4

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 9.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 9.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C - x + C + \int \frac{1}{u} d u$

Этап 10

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C - x + C + \ln (| u |) + C$

Этап 11

Упростим.

$\frac{1}{2} x^{2} - x + \ln (| u |) + C$

Этап 12

Заменим все вхождения $u$ на $x + 1$ .

$\frac{1}{2} x^{2} - x + \ln (| x + 1 |) + C$

Этап 13

Ответ ― первообразная функции $f (x) = \frac{x^{2}}{1 + x}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{2} x^{2} - x + \ln (| x + 1 |) + C$