Математический анализ Примеры

$\frac{2 x + 3}{2 - x}$

Этап 1

Запишем $\frac{2 x + 3}{2 - x}$ в виде функции.

$f (x) = \frac{2 x + 3}{2 - x}$

Этап 2

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 3

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int \frac{2 x + 3}{2 - x} d x$

Этап 4

Изменим порядок $2$ и $- x$ .

$\int \frac{2 x + 3}{- x + 2} d x$

Этап 5

Разделим $2 x + 3$ на $- x + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x$

$2$

$2 x$

$3$

Этап 5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $2 x$ на член с максимальной степенью в делителе $- x$ .

				-	$2$
-	$x$	+	$2$		$2 x$	+	$3$

Этап 5.3

Умножим новое частное на делитель.

				-	$2$
-	$x$	+	$2$		$2 x$	+	$3$
				+	$2 x$	-	$4$

Этап 5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $2 x - 4$ .

				-	$2$
-	$x$	+	$2$		$2 x$	+	$3$
				-	$2 x$	+	$4$

Этап 5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				-	$2$
-	$x$	+	$2$		$2 x$	+	$3$
				-	$2 x$	+	$4$
						+	$7$

Этап 5.6

Окончательный ответ: неполное частное плюс остаток, деленный на делитель.

$\int - 2 + \frac{7}{- x + 2} d x$

Этап 6

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int - 2 d x + \int \frac{7}{- x + 2} d x$

Этап 7

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$- 2 x + C + \int \frac{7}{- x + 2} d x$

Этап 8

Поскольку $7$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $7$ из-под знака интеграла.

$- 2 x + C + 7 \int \frac{1}{- x + 2} d x$

Этап 9

Пусть $u = - x + 2$ . Тогда $d u = - d x$ , следовательно $- d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Пусть $u = - x + 2$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Перепишем.

$\frac{- 1}{1}$

Этап 9.1.2

Разделим $- 1$ на $1$ .

$- 1$

Этап 9.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$- 2 x + C + 7 \int \frac{- 1}{u} d u$

Этап 10

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- 2 x + C + 7 \int - \frac{1}{u} d u$

Этап 11

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- 2 x + C + 7 (- \int \frac{1}{u} d u)$

Этап 12

Умножим $- 1$ на $7$ .

$- 2 x + C - 7 \int \frac{1}{u} d u$

Этап 13

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$- 2 x + C - 7 (\ln (| u |) + C)$

Этап 14

Упростим.

$- 2 x - 7 \ln (| u |) + C$

Этап 15

Заменим все вхождения $u$ на $- x + 2$ .

$- 2 x - 7 \ln (| - x + 2 |) + C$

Этап 16

Ответ ― первообразная функции $f (x) = \frac{2 x + 3}{2 - x}$ .

$F (x) =$ $- 2 x - 7 \ln (| - x + 2 |) + C$