Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{1} (x^{11} + 11^{x}) d x$

Этап 1

Избавимся от скобок.

$\int_{0}^{1} x^{11} + 11^{x} d x$

Этап 2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{0}^{1} x^{11} d x + \int_{0}^{1} 11^{x} d x$

Этап 3

По правилу степени интеграл $x^{11}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{12} x^{12}$ .

$\frac{1}{12} x^{12}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} 11^{x} d x$

Этап 4

Интеграл $11^{x}$ по $x$ имеет вид $\frac{11^{x}}{\ln (11)}$ .

$\frac{1}{12} x^{12}]_{0}^{1} + \frac{11^{x}}{\ln (11)}]_{0}^{1}$

Этап 5

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Объединим $\frac{1}{12} x^{12}]_{0}^{1}$ и $\frac{11^{x}}{\ln (11)}]_{0}^{1}$ .

$\frac{1}{12} x^{12} + \frac{11^{x}}{\ln (11)}]_{0}^{1}$

Этап 5.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Найдем значение $\frac{1}{12} x^{12} + \frac{11^{x}}{\ln (11)}$ в $1$ и в $0$ .

$(\frac{1}{12} \cdot 1^{12} + \frac{11^{1}}{\ln (11)}) - (\frac{1}{12} \cdot 0^{12} + \frac{11^{0}}{\ln (11)})$

Этап 5.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{1}{12} \cdot 1 + \frac{11^{1}}{\ln (11)} - (\frac{1}{12} \cdot 0^{12} + \frac{11^{0}}{\ln (11)})$

Этап 5.2.2.2

Умножим $\frac{1}{12}$ на $1$ .

$\frac{1}{12} + \frac{11^{1}}{\ln (11)} - (\frac{1}{12} \cdot 0^{12} + \frac{11^{0}}{\ln (11)})$

Этап 5.2.2.3

Найдем экспоненту.

$\frac{1}{12} + \frac{11}{\ln (11)} - (\frac{1}{12} \cdot 0^{12} + \frac{11^{0}}{\ln (11)})$

Этап 5.2.2.4

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{1}{12} + \frac{11}{\ln (11)} - (\frac{1}{12} \cdot 0 + \frac{11^{0}}{\ln (11)})$

Этап 5.2.2.5

Умножим $\frac{1}{12}$ на $0$ .

$\frac{1}{12} + \frac{11}{\ln (11)} - (0 + \frac{11^{0}}{\ln (11)})$

Этап 5.2.2.6

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$\frac{1}{12} + \frac{11}{\ln (11)} - (0 + \frac{1}{\ln (11)})$

Этап 5.2.2.7

Добавим $0$ и $\frac{1}{\ln (11)}$ .

$\frac{1}{12} + \frac{11}{\ln (11)} - \frac{1}{\ln (11)}$

Этап 5.2.2.8

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{12} + \frac{11 - 1}{\ln (11)}$

Этап 5.2.2.9

Вычтем $1$ из $11$ .

$\frac{1}{12} + \frac{10}{\ln (11)}$

Этап 6

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{1}{12} + \frac{10}{\ln (11)}$

Десятичная форма:

$4.25365724 \dots$

Этап 7