Математический анализ Примеры

$x e^{x} d x$

Этап 1

Запишем $x e^{x} d x$ в виде функции.

$f (x) = x e^{x} d x$

Этап 2

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 3

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int x e^{x} d x d x$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\int x^{1} x e^{x} d d x$

Этап 4.2

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\int x^{1} x^{1} e^{x} d d x$

Этап 4.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int x^{1 + 1} e^{x} d d x$

Этап 4.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\int x^{2} e^{x} d d x$

Этап 5

Поскольку $d$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $d$ из-под знака интеграла.

$d \int x^{2} e^{x} d x$

Этап 6

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = x^{2}$ и $d v = e^{x}$ .

$d (x^{2} e^{x} - \int e^{x} (2 x) d x)$

Этап 7

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$d (x^{2} e^{x} - (2 \int e^{x} (x) d x))$

Этап 8

Умножим $2$ на $- 1$ .

$d (x^{2} e^{x} - 2 \int e^{x} (x) d x)$

Этап 9

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = x$ и $d v = e^{x}$ .

$d (x^{2} e^{x} - 2 (x e^{x} - \int e^{x} d x))$

Этап 10

Интеграл $e^{x}$ по $x$ имеет вид $e^{x}$ .

$d (x^{2} e^{x} - 2 (x e^{x} - (e^{x} + C)))$

Этап 11

Перепишем $d (x^{2} e^{x} - 2 (x e^{x} - (e^{x} + C)))$ в виде $d (x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x}) + C$ .

$d (x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x}) + C$

Этап 12

Ответ ― первообразная функции $f (x) = x e^{x} d x$ .

$F (x) =$ $d (x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x}) + C$