Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} 4 \sec^{4} (θ) \tan^{4} (θ) d θ$

Этап 1

Поскольку $4$ — константа по отношению к $θ$ , вынесем $4$ из-под знака интеграла.

$4 \int_{0}^{\frac{π}{4}} \sec^{4} (θ) \tan^{4} (θ) d θ$

Этап 2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Запишем $4$ как $2$ плюс $2$

$4 \int_{0}^{\frac{π}{4}} {\sec (θ)}^{2 + 2} \tan^{4} (θ) d θ$

Этап 2.2

Перепишем ${\sec (θ)}^{2 + 2}$ в виде $\sec^{2} (θ) \sec^{2} (θ)$ .

$4 \int_{0}^{\frac{π}{4}} \sec^{2} (θ) \sec^{2} (θ) \tan^{4} (θ) d θ$

Этап 3

Используя формулы Пифагора, запишем $\sec^{2} (θ)$ в виде $1 + \tan^{2} (θ)$ .

$4 \int_{0}^{\frac{π}{4}} (1 + \tan^{2} (θ)) \sec^{2} (θ) \tan^{4} (θ) d θ$

Этап 4

Пусть $u = \tan (θ)$ . Тогда $d u = \sec^{2} (θ) d θ$ , следовательно $\frac{1}{\sec^{2} (θ)} d u = d θ$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Пусть $u = \tan (θ)$ . Найдем $\frac{d u}{d θ}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Дифференцируем $\tan (θ)$ .

$\frac{d}{d θ} [\tan (θ)]$

Этап 4.1.2

Производная $\tan (θ)$ по $θ$ равна $\sec^{2} (θ)$ .

$\sec^{2} (θ)$

Этап 4.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $θ$ в $u = \tan (θ)$ .

$u_{lower} = \tan (0)$

Этап 4.3

Точное значение $\tan (0)$ : $0$ .

$u_{lower} = 0$

Этап 4.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $θ$ в $u = \tan (θ)$ .

$u_{upper} = \tan (\frac{π}{4})$

Этап 4.5

Точное значение $\tan (\frac{π}{4})$ : $1$ .

$u_{upper} = 1$

Этап 4.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 1$

Этап 4.7

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$4 \int_{0}^{1} (1 + u^{2}) u^{4} d u$

Этап 5

Умножим $(1 + u^{2}) u^{4}$ .

$4 \int_{0}^{1} 1 u^{4} + u^{2} u^{4} d u$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Умножим $u^{4}$ на $1$ .

$4 \int_{0}^{1} u^{4} + u^{2} u^{4} d u$

Этап 6.2

Умножим $u^{2}$ на $u^{4}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$4 \int_{0}^{1} u^{4} + u^{2 + 4} d u$

Этап 6.2.2

Добавим $2$ и $4$ .

$4 \int_{0}^{1} u^{4} + u^{6} d u$

Этап 7

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$4 (\int_{0}^{1} u^{4} d u + \int_{0}^{1} u^{6} d u)$

Этап 8

По правилу степени интеграл $u^{4}$ по $u$ имеет вид $\frac{1}{5} u^{5}$ .

$4 (\frac{1}{5} u^{5}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} u^{6} d u)$

Этап 9

Объединим $\frac{1}{5}$ и $u^{5}$ .

$4 (\frac{u^{5}}{5}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} u^{6} d u)$

Этап 10

По правилу степени интеграл $u^{6}$ по $u$ имеет вид $\frac{1}{7} u^{7}$ .

$4 (\frac{u^{5}}{5}]_{0}^{1} + \frac{1}{7} u^{7}]_{0}^{1})$

Этап 11

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Объединим $\frac{u^{5}}{5}]_{0}^{1}$ и $\frac{1}{7} u^{7}]_{0}^{1}$ .

$4 (\frac{u^{5}}{5} + \frac{1}{7} u^{7}]_{0}^{1})$

Этап 11.2

Объединим $\frac{1}{7}$ и $u^{7}$ .

$4 (\frac{u^{5}}{5} + \frac{u^{7}}{7}]_{0}^{1})$

Этап 12

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Найдем значение $\frac{u^{5}}{5} + \frac{u^{7}}{7}$ в $1$ и в $0$ .

$4 ((\frac{1^{5}}{5} + \frac{1^{7}}{7}) - (\frac{0^{5}}{5} + \frac{0^{7}}{7}))$

Этап 12.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1

Единица в любой степени равна единице.

$4 (\frac{1}{5} + \frac{1^{7}}{7} - (\frac{0^{5}}{5} + \frac{0^{7}}{7}))$

Этап 12.2.2

Единица в любой степени равна единице.

$4 (\frac{1}{5} + \frac{1}{7} - (\frac{0^{5}}{5} + \frac{0^{7}}{7}))$

Этап 12.2.3

Чтобы записать $\frac{1}{5}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{7}{7}$ .

$4 (\frac{1}{5} \cdot \frac{7}{7} + \frac{1}{7} - (\frac{0^{5}}{5} + \frac{0^{7}}{7}))$

Этап 12.2.4

Чтобы записать $\frac{1}{7}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{5}{5}$ .

$4 (\frac{1}{5} \cdot \frac{7}{7} + \frac{1}{7} \cdot \frac{5}{5} - (\frac{0^{5}}{5} + \frac{0^{7}}{7}))$

Этап 12.2.5

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $35$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.5.1

Умножим $\frac{1}{5}$ на $\frac{7}{7}$ .

$4 (\frac{7}{5 \cdot 7} + \frac{1}{7} \cdot \frac{5}{5} - (\frac{0^{5}}{5} + \frac{0^{7}}{7}))$

Этап 12.2.5.2

Умножим $5$ на $7$ .

$4 (\frac{7}{35} + \frac{1}{7} \cdot \frac{5}{5} - (\frac{0^{5}}{5} + \frac{0^{7}}{7}))$

Этап 12.2.5.3

Умножим $\frac{1}{7}$ на $\frac{5}{5}$ .

$4 (\frac{7}{35} + \frac{5}{7 \cdot 5} - (\frac{0^{5}}{5} + \frac{0^{7}}{7}))$

Этап 12.2.5.4

Умножим $7$ на $5$ .

$4 (\frac{7}{35} + \frac{5}{35} - (\frac{0^{5}}{5} + \frac{0^{7}}{7}))$

Этап 12.2.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$4 (\frac{7 + 5}{35} - (\frac{0^{5}}{5} + \frac{0^{7}}{7}))$

Этап 12.2.7

Добавим $7$ и $5$ .

$4 (\frac{12}{35} - (\frac{0^{5}}{5} + \frac{0^{7}}{7}))$

Этап 12.2.8

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$4 (\frac{12}{35} - (\frac{0}{5} + \frac{0^{7}}{7}))$

Этап 12.2.9

Сократим общий множитель $0$ и $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.9.1

Вынесем множитель $5$ из $0$ .

$4 (\frac{12}{35} - (\frac{5 (0)}{5} + \frac{0^{7}}{7}))$

Этап 12.2.9.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.9.2.1

Вынесем множитель $5$ из $5$ .

$4 (\frac{12}{35} - (\frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1} + \frac{0^{7}}{7}))$

Этап 12.2.9.2.2

Сократим общий множитель.

$4 (\frac{12}{35} - (\frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1} + \frac{0^{7}}{7}))$

Этап 12.2.9.2.3

Перепишем это выражение.

$4 (\frac{12}{35} - (\frac{0}{1} + \frac{0^{7}}{7}))$

Этап 12.2.9.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$4 (\frac{12}{35} - (0 + \frac{0^{7}}{7}))$

Этап 12.2.10

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$4 (\frac{12}{35} - (0 + \frac{0}{7}))$

Этап 12.2.11

Сократим общий множитель $0$ и $7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.11.1

Вынесем множитель $7$ из $0$ .

$4 (\frac{12}{35} - (0 + \frac{7 (0)}{7}))$

Этап 12.2.11.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.11.2.1

Вынесем множитель $7$ из $7$ .

$4 (\frac{12}{35} - (0 + \frac{7 \cdot 0}{7 \cdot 1}))$

Этап 12.2.11.2.2

Сократим общий множитель.

$4 (\frac{12}{35} - (0 + \frac{7 \cdot 0}{7 \cdot 1}))$

Этап 12.2.11.2.3

Перепишем это выражение.

$4 (\frac{12}{35} - (0 + \frac{0}{1}))$

Этап 12.2.11.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$4 (\frac{12}{35} - (0 + 0))$

Этап 12.2.12

Добавим $0$ и $0$ .

$4 (\frac{12}{35} - 0)$

Этап 12.2.13

Умножим $- 1$ на $0$ .

$4 (\frac{12}{35} + 0)$

Этап 12.2.14

Добавим $\frac{12}{35}$ и $0$ .

$4 (\frac{12}{35})$

Этап 12.2.15

Объединим $4$ и $\frac{12}{35}$ .

$\frac{4 \cdot 12}{35}$

Этап 12.2.16

Умножим $4$ на $12$ .

$\frac{48}{35}$

Этап 13

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{48}{35}$

Десятичная форма:

$1.37142857 \dots$

Форма смешанных чисел:

$1 \frac{13}{35}$