Математический анализ Примеры

$\int 6 (3 x + 1) e^{15 x^{2} + 10 x - 15} d x$

Этап 1

Поскольку $6$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $6$ из-под знака интеграла.

$6 \int (3 x + 1) e^{15 x^{2} + 10 x - 15} d x$

Этап 2

Пусть $u = 15 x^{2} + 10 x - 15$ . Тогда $d u = (30 x + 10) d x$ , следовательно $\frac{1}{10} d u = (3 x + 1) d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть $u = 15 x^{2} + 10 x - 15$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Дифференцируем $15 x^{2} + 10 x - 15$ .

$\frac{d}{d x} [15 x^{2} + 10 x - 15]$

Этап 2.1.2

По правилу суммы производная $15 x^{2} + 10 x - 15$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [15 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [- 15]$ .

$\frac{d}{d x} [15 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [- 15]$

Этап 2.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [15 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Поскольку $15$ является константой относительно $x$ , производная $15 x^{2}$ по $x$ равна $15 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$15 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [- 15]$

Этап 2.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$15 (2 x) + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [- 15]$

Этап 2.1.3.3

Умножим $2$ на $15$ .

$30 x + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [- 15]$

Этап 2.1.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [10 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.1

Поскольку $10$ является константой относительно $x$ , производная $10 x$ по $x$ равна $10 \frac{d}{d x} [x]$ .

$30 x + 10 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 15]$

Этап 2.1.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$30 x + 10 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 15]$

Этап 2.1.4.3

Умножим $10$ на $1$ .

$30 x + 10 + \frac{d}{d x} [- 15]$

Этап 2.1.5

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.5.1

Поскольку $- 15$ является константой относительно $x$ , производная $- 15$ относительно $x$ равна $0$ .

$30 x + 10 + 0$

Этап 2.1.5.2

Добавим $30 x + 10$ и $0$ .

$30 x + 10$

Этап 2.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$6 \int e^{u} \frac{1}{10} d u$

Этап 3

Объединим $e^{u}$ и $\frac{1}{10}$ .

$6 \int \frac{e^{u}}{10} d u$

Этап 4

Поскольку $\frac{1}{10}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{10}$ из-под знака интеграла.

$6 (\frac{1}{10} \int e^{u} d u)$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Объединим $\frac{1}{10}$ и $6$ .

$\frac{6}{10} \int e^{u} d u$

Этап 5.2

Сократим общий множитель $6$ и $10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$\frac{2 (3)}{10} \int e^{u} d u$

Этап 5.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $10$ .

$\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 5} \int e^{u} d u$

Этап 5.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 5} \int e^{u} d u$

Этап 5.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{3}{5} \int e^{u} d u$

Этап 6

Интеграл $e^{u}$ по $u$ имеет вид $e^{u}$ .

$\frac{3}{5} (e^{u} + C)$

Этап 7

Упростим.

$\frac{3}{5} e^{u} + C$

Этап 8

Заменим все вхождения $u$ на $15 x^{2} + 10 x - 15$ .

$\frac{3}{5} e^{15 x^{2} + 10 x - 15} + C$