Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \sec^{4} (θ) \tan^{4} (θ) d θ$

Этап 1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Запишем $4$ как $2$ плюс $2$

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {\sec (θ)}^{2 + 2} \tan^{4} (θ) d θ$

Этап 1.2

Перепишем ${\sec (θ)}^{2 + 2}$ в виде $\sec^{2} (θ) \sec^{2} (θ)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \sec^{2} (θ) \sec^{2} (θ) \tan^{4} (θ) d θ$

Этап 2

Используя формулы Пифагора, запишем $\sec^{2} (θ)$ в виде $1 + \tan^{2} (θ)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} (1 + \tan^{2} (θ)) \sec^{2} (θ) \tan^{4} (θ) d θ$

Этап 3

Пусть $u = \tan (θ)$ . Тогда $d u = \sec^{2} (θ) d θ$ , следовательно $\frac{1}{\sec^{2} (θ)} d u = d θ$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Пусть $u = \tan (θ)$ . Найдем $\frac{d u}{d θ}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Дифференцируем $\tan (θ)$ .

$\frac{d}{d θ} [\tan (θ)]$

Этап 3.1.2

Производная $\tan (θ)$ по $θ$ равна $\sec^{2} (θ)$ .

$\sec^{2} (θ)$

Этап 3.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $θ$ в $u = \tan (θ)$ .

$u_{lower} = \tan (0)$

Этап 3.3

Точное значение $\tan (0)$ : $0$ .

$u_{lower} = 0$

Этап 3.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $θ$ в $u = \tan (θ)$ .

$u_{upper} = \tan (\frac{π}{4})$

Этап 3.5

Точное значение $\tan (\frac{π}{4})$ : $1$ .

$u_{upper} = 1$

Этап 3.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 1$

Этап 3.7

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$\int_{0}^{1} (1 + u^{2}) u^{4} d u$

Этап 4

Умножим $(1 + u^{2}) u^{4}$ .

$\int_{0}^{1} 1 u^{4} + u^{2} u^{4} d u$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Умножим $u^{4}$ на $1$ .

$\int_{0}^{1} u^{4} + u^{2} u^{4} d u$

Этап 5.2

Умножим $u^{2}$ на $u^{4}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int_{0}^{1} u^{4} + u^{2 + 4} d u$

Этап 5.2.2

Добавим $2$ и $4$ .

$\int_{0}^{1} u^{4} + u^{6} d u$

Этап 6

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{0}^{1} u^{4} d u + \int_{0}^{1} u^{6} d u$

Этап 7

По правилу степени интеграл $u^{4}$ по $u$ имеет вид $\frac{1}{5} u^{5}$ .

$\frac{1}{5} u^{5}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} u^{6} d u$

Этап 8

По правилу степени интеграл $u^{6}$ по $u$ имеет вид $\frac{1}{7} u^{7}$ .

$\frac{1}{5} u^{5}]_{0}^{1} + \frac{1}{7} u^{7}]_{0}^{1}$

Этап 9

Объединим $\frac{1}{5} u^{5}]_{0}^{1}$ и $\frac{1}{7} u^{7}]_{0}^{1}$ .

$\frac{1}{5} u^{5} + \frac{1}{7} u^{7}]_{0}^{1}$

Этап 10

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Найдем значение $\frac{1}{5} u^{5} + \frac{1}{7} u^{7}$ в $1$ и в $0$ .

$(\frac{1}{5} \cdot 1^{5} + \frac{1}{7} \cdot 1^{7}) - (\frac{1}{5} \cdot 0^{5} + \frac{1}{7} \cdot 0^{7})$

Этап 10.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{1}{5} \cdot 1 + \frac{1}{7} \cdot 1^{7} - (\frac{1}{5} \cdot 0^{5} + \frac{1}{7} \cdot 0^{7})$

Этап 10.2.2

Умножим $\frac{1}{5}$ на $1$ .

$\frac{1}{5} + \frac{1}{7} \cdot 1^{7} - (\frac{1}{5} \cdot 0^{5} + \frac{1}{7} \cdot 0^{7})$

Этап 10.2.3

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{1}{5} + \frac{1}{7} \cdot 1 - (\frac{1}{5} \cdot 0^{5} + \frac{1}{7} \cdot 0^{7})$

Этап 10.2.4

Умножим $\frac{1}{7}$ на $1$ .

$\frac{1}{5} + \frac{1}{7} - (\frac{1}{5} \cdot 0^{5} + \frac{1}{7} \cdot 0^{7})$

Этап 10.2.5

Чтобы записать $\frac{1}{5}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{7}{7}$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{7}{7} + \frac{1}{7} - (\frac{1}{5} \cdot 0^{5} + \frac{1}{7} \cdot 0^{7})$

Этап 10.2.6

Чтобы записать $\frac{1}{7}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{5}{5}$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{7}{7} + \frac{1}{7} \cdot \frac{5}{5} - (\frac{1}{5} \cdot 0^{5} + \frac{1}{7} \cdot 0^{7})$

Этап 10.2.7

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $35$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.7.1

Умножим $\frac{1}{5}$ на $\frac{7}{7}$ .

$\frac{7}{5 \cdot 7} + \frac{1}{7} \cdot \frac{5}{5} - (\frac{1}{5} \cdot 0^{5} + \frac{1}{7} \cdot 0^{7})$

Этап 10.2.7.2

Умножим $5$ на $7$ .

$\frac{7}{35} + \frac{1}{7} \cdot \frac{5}{5} - (\frac{1}{5} \cdot 0^{5} + \frac{1}{7} \cdot 0^{7})$

Этап 10.2.7.3

Умножим $\frac{1}{7}$ на $\frac{5}{5}$ .

$\frac{7}{35} + \frac{5}{7 \cdot 5} - (\frac{1}{5} \cdot 0^{5} + \frac{1}{7} \cdot 0^{7})$

Этап 10.2.7.4

Умножим $7$ на $5$ .

$\frac{7}{35} + \frac{5}{35} - (\frac{1}{5} \cdot 0^{5} + \frac{1}{7} \cdot 0^{7})$

Этап 10.2.8

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{7 + 5}{35} - (\frac{1}{5} \cdot 0^{5} + \frac{1}{7} \cdot 0^{7})$

Этап 10.2.9

Добавим $7$ и $5$ .

$\frac{12}{35} - (\frac{1}{5} \cdot 0^{5} + \frac{1}{7} \cdot 0^{7})$

Этап 10.2.10

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{12}{35} - (\frac{1}{5} \cdot 0 + \frac{1}{7} \cdot 0^{7})$

Этап 10.2.11

Умножим $\frac{1}{5}$ на $0$ .

$\frac{12}{35} - (0 + \frac{1}{7} \cdot 0^{7})$

Этап 10.2.12

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{12}{35} - (0 + \frac{1}{7} \cdot 0)$

Этап 10.2.13

Умножим $\frac{1}{7}$ на $0$ .

$\frac{12}{35} - (0 + 0)$

Этап 10.2.14

Добавим $0$ и $0$ .

$\frac{12}{35} - 0$

Этап 10.2.15

Умножим $- 1$ на $0$ .

$\frac{12}{35} + 0$

Этап 10.2.16

Добавим $\frac{12}{35}$ и $0$ .

$\frac{12}{35}$

Этап 11

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{12}{35}$

Десятичная форма:

$0.3\overline{428571}$