Математический анализ Примеры

$f (x) = 0.5 x^{3} - 2 x + 2.5$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

По правилу суммы производная $0.5 x^{3} - 2 x + 2.5$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [0.5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [2.5]$ .

$\frac{d}{d x} [0.5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [2.5]$

Этап 1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [0.5 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $0.5$ является константой относительно $x$ , производная $0.5 x^{3}$ по $x$ равна $0.5 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$0.5 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [2.5]$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$0.5 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [2.5]$

Этап 1.2.3

Умножим $3$ на $0.5$ .

$1.5 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [2.5]$

Этап 1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 x$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$1.5 x^{2} - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2.5]$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1.5 x^{2} - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2.5]$

Этап 1.3.3

Умножим $- 2$ на $1$ .

$1.5 x^{2} - 2 + \frac{d}{d x} [2.5]$

Этап 1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Поскольку $2.5$ является константой относительно $x$ , производная $2.5$ относительно $x$ равна $0$ .

$1.5 x^{2} - 2 + 0$

Этап 1.4.2

Добавим $1.5 x^{2} - 2$ и $0$ .

$1.5 x^{2} - 2$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $1.5 x^{2} - 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1.5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (1.5 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [1.5 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $1.5$ является константой относительно $x$ , производная $1.5 x^{2}$ по $x$ равна $1.5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 1.5 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = 1.5 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Этап 2.2.3

Умножим $2$ на $1.5$ .

$f'' (x) = 3 x + \frac{d}{d x} (- 2)$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = 3 x + 0$

Этап 2.3.2

Добавим $3 x$ и $0$ .

$f'' (x) = 3 x$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$1.5 x^{2} - 2 = 0$

Этап 4

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

По правилу суммы производная $0.5 x^{3} - 2 x + 2.5$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [0.5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [2.5]$ .

$\frac{d}{d x} [0.5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [2.5]$

Этап 4.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [0.5 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Поскольку $0.5$ является константой относительно $x$ , производная $0.5 x^{3}$ по $x$ равна $0.5 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$0.5 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [2.5]$

Этап 4.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$0.5 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [2.5]$

Этап 4.1.2.3

Умножим $3$ на $0.5$ .

$1.5 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [2.5]$

Этап 4.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 x$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$1.5 x^{2} - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2.5]$

Этап 4.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1.5 x^{2} - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2.5]$

Этап 4.1.3.3

Умножим $- 2$ на $1$ .

$1.5 x^{2} - 2 + \frac{d}{d x} [2.5]$

Этап 4.1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.1

Поскольку $2.5$ является константой относительно $x$ , производная $2.5$ относительно $x$ равна $0$ .

$1.5 x^{2} - 2 + 0$

Этап 4.1.4.2

Добавим $1.5 x^{2} - 2$ и $0$ .

$f' (x) = 1.5 x^{2} - 2$

Этап 4.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $1.5 x^{2} - 2$ .

$1.5 x^{2} - 2$

Этап 5

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $1.5 x^{2} - 2 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$1.5 x^{2} - 2 = 0$

Этап 5.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$1.5 x^{2} = 2$

Этап 5.3

Разделим каждый член $1.5 x^{2} = 2$ на $1.5$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Разделим каждый член $1.5 x^{2} = 2$ на $1.5$ .

$\frac{1.5 x^{2}}{1.5} = \frac{2}{1.5}$

Этап 5.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Сократим общий множитель $1.5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1.5 x^{2}}{1.5} = \frac{2}{1.5}$

Этап 5.3.2.1.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} = \frac{2}{1.5}$

Этап 5.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Разделим $2$ на $1.5$ .

$x^{2} = 1.\overline{3}$

Этап 5.4

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{1.\overline{3}}$

Этап 5.5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = \sqrt{1.\overline{3}}$

Этап 5.5.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - \sqrt{1.\overline{3}}$

Этап 5.5.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = \sqrt{1.\overline{3}}, - \sqrt{1.\overline{3}}$

Этап 6

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 7

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = \sqrt{1.\overline{3}}, - \sqrt{1.\overline{3}}$

Этап 8

Найдем вторую производную в $x = \sqrt{1.\overline{3}}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$3 (\sqrt{1.\overline{3}})$

Этап 9

Умножим $3$ на $\sqrt{1.\overline{3}}$ .

$3.46410161$

Этап 10

$x = \sqrt{1.\overline{3}}$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = \sqrt{1.\overline{3}}$ — локальный минимум

Этап 11

Найдем значение y, если $x = \sqrt{1.\overline{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\sqrt{1.\overline{3}}$ .

$f (\sqrt{1.\overline{3}}) = 0.5 {(\sqrt{1.\overline{3}})}^{3} - 2 \sqrt{1.\overline{3}} + 2.5$

Этап 11.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.1

Перепишем ${\sqrt{1.\overline{3}}}^{3}$ в виде $\sqrt{{1.\overline{3}}^{3}}$ .

$f (\sqrt{1.\overline{3}}) = 0.5 \sqrt{{1.\overline{3}}^{3}} - 2 \sqrt{1.\overline{3}} + 2.5$

Этап 11.2.1.2

Возведем $1.\overline{3}$ в степень $3$ .

$f (\sqrt{1.\overline{3}}) = 0.5 \sqrt{2.\overline{370}} - 2 \sqrt{1.\overline{3}} + 2.5$

Этап 11.2.1.3

Умножим $0.5$ на $\sqrt{2.\overline{370}}$ .

$f (\sqrt{1.\overline{3}}) = 0.76980035 - 2 \sqrt{1.\overline{3}} + 2.5$

Этап 11.2.2

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.2.1

Вычтем $2 \sqrt{1.\overline{3}}$ из $0.76980035$ .

$f (\sqrt{1.\overline{3}}) = - 1.53960071 + 2.5$

Этап 11.2.2.2

Добавим $- 1.53960071$ и $2.5$ .

$f (\sqrt{1.\overline{3}}) = 0.96039928$

Этап 11.2.3

Окончательный ответ: $0.96039928$ .

$y = 0.96039928$

Этап 12

Найдем вторую производную в $x = - \sqrt{1.\overline{3}}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$3 (- \sqrt{1.\overline{3}})$

Этап 13

Умножим $3 (- \sqrt{1.\overline{3}})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$- 3 \sqrt{1.\overline{3}}$

Этап 13.2

Умножим $- 3$ на $\sqrt{1.\overline{3}}$ .

$- 3.46410161$

Этап 14

$x = - \sqrt{1.\overline{3}}$ — локальный максимум, так как вторая производная отрицательная. Это называется тестом второй производной.

$x = - \sqrt{1.\overline{3}}$ — локальный максимум

Этап 15

Найдем значение y, если $x = - \sqrt{1.\overline{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- \sqrt{1.\overline{3}}$ .

$f (- \sqrt{1.\overline{3}}) = 0.5 {(- \sqrt{1.\overline{3}})}^{3} - 2 (- \sqrt{1.\overline{3}}) + 2.5$

Этап 15.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.1

Применим правило умножения к $- \sqrt{1.\overline{3}}$ .

$f (- \sqrt{1.\overline{3}}) = 0.5 ({(- 1)}^{3} {\sqrt{1.\overline{3}}}^{3}) - 2 (- \sqrt{1.\overline{3}}) + 2.5$

Этап 15.2.1.2

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$f (- \sqrt{1.\overline{3}}) = 0.5 (- {\sqrt{1.\overline{3}}}^{3}) - 2 (- \sqrt{1.\overline{3}}) + 2.5$

Этап 15.2.1.3

Перепишем ${\sqrt{1.\overline{3}}}^{3}$ в виде $\sqrt{{1.\overline{3}}^{3}}$ .

$f (- \sqrt{1.\overline{3}}) = 0.5 (- \sqrt{{1.\overline{3}}^{3}}) - 2 (- \sqrt{1.\overline{3}}) + 2.5$

Этап 15.2.1.4

Возведем $1.\overline{3}$ в степень $3$ .

$f (- \sqrt{1.\overline{3}}) = 0.5 (- \sqrt{2.\overline{370}}) - 2 (- \sqrt{1.\overline{3}}) + 2.5$

Этап 15.2.1.5

Умножим $0.5 (- \sqrt{2.\overline{370}})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.5.1

Умножим $- 1$ на $0.5$ .

$f (- \sqrt{1.\overline{3}}) = - 0.5 \sqrt{2.\overline{370}} - 2 (- \sqrt{1.\overline{3}}) + 2.5$

Этап 15.2.1.5.2

Умножим $- 0.5$ на $\sqrt{2.\overline{370}}$ .

$f (- \sqrt{1.\overline{3}}) = - 0.76980035 - 2 (- \sqrt{1.\overline{3}}) + 2.5$

Этап 15.2.1.6

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$f (- \sqrt{1.\overline{3}}) = - 0.76980035 + 2 \sqrt{1.\overline{3}} + 2.5$

Этап 15.2.2

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.2.1

Добавим $- 0.76980035$ и $2 \sqrt{1.\overline{3}}$ .

$f (- \sqrt{1.\overline{3}}) = 1.53960071 + 2.5$

Этап 15.2.2.2

Добавим $1.53960071$ и $2.5$ .

$f (- \sqrt{1.\overline{3}}) = 4.03960071$

Этап 15.2.3

Окончательный ответ: $4.03960071$ .

$y = 4.03960071$

Этап 16

Это локальные экстремумы $f (x) = 0.5 x^{3} - 2 x + 2.5$ .

$(\sqrt{1.\overline{3}}, 0.96039928)$ — локальный минимум

$(- \sqrt{1.\overline{3}}, 4.03960071)$ — локальный максимум

Этап 17