Математический анализ Примеры

$\sqrt{x} + \sqrt[3]{x} + \sqrt[4]{x}$

Этап 1

Запишем $\sqrt{x} + \sqrt[3]{x} + \sqrt[4]{x}$ в виде функции.

$f (x) = \sqrt{x} + \sqrt[3]{x} + \sqrt[4]{x}$

Этап 2

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 3

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int \sqrt{x} + \sqrt[3]{x} + \sqrt[4]{x} d x$

Этап 4

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int \sqrt{x} d x + \int \sqrt[3]{x} d x + \int \sqrt[4]{x} d x$

Этап 5

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int x^{\frac{1}{2}} d x + \int \sqrt[3]{x} d x + \int \sqrt[4]{x} d x$

Этап 6

По правилу степени интеграл $x^{\frac{1}{2}}$ по $x$ имеет вид $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C + \int \sqrt[3]{x} d x + \int \sqrt[4]{x} d x$

Этап 7

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{x}$ в виде $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C + \int x^{\frac{1}{3}} d x + \int \sqrt[4]{x} d x$

Этап 8

По правилу степени интеграл $x^{\frac{1}{3}}$ по $x$ имеет вид $\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C + \frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + C + \int \sqrt[4]{x} d x$

Этап 9

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[4]{x}$ в виде $x^{\frac{1}{4}}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C + \frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + C + \int x^{\frac{1}{4}} d x$

Этап 10

По правилу степени интеграл $x^{\frac{1}{4}}$ по $x$ имеет вид $\frac{4}{5} x^{\frac{5}{4}}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C + \frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + C + \frac{4}{5} x^{\frac{5}{4}} + C$

Этап 11

Упростим.

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + \frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + \frac{4}{5} x^{\frac{5}{4}} + C$

Этап 12

Ответ ― первообразная функции $f (x) = \sqrt{x} + \sqrt[3]{x} + \sqrt[4]{x}$ .

$F (x) =$ $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + \frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + \frac{4}{5} x^{\frac{5}{4}} + C$