Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{3} \frac{6}{9 + x^{2}} d x$

Этап 1

Поскольку $6$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $6$ из-под знака интеграла.

$6 \int_{0}^{3} \frac{1}{9 + x^{2}} d x$

Этап 2

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$6 \int_{0}^{3} \frac{1}{3^{2} + x^{2}} d x$

Этап 3

Интеграл $\frac{1}{3^{2} + x^{2}}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} \arctan (\frac{x}{3})]_{0}^{3}$ .

$6 (\frac{1}{3} \arctan (\frac{x}{3})]_{0}^{3})$

Этап 4

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Объединим $\frac{1}{3}$ и $\arctan (\frac{x}{3})$ .

$6 (\frac{\arctan (\frac{x}{3})}{3}]_{0}^{3})$

Этап 4.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Найдем значение $\frac{\arctan (\frac{x}{3})}{3}$ в $3$ и в $0$ .

$6 ((\frac{\arctan (\frac{3}{3})}{3}) - \frac{\arctan (\frac{0}{3})}{3})$

Этап 4.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$6 (\frac{\arctan (\frac{3}{3})}{3} - \frac{\arctan (\frac{0}{3})}{3})$

Этап 4.2.2.1.2

Перепишем это выражение.

$6 (\frac{\arctan (1)}{3} - \frac{\arctan (\frac{0}{3})}{3})$

Этап 4.2.2.2

Сократим общий множитель $0$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.2.1

Вынесем множитель $3$ из $0$ .

$6 (\frac{\arctan (1)}{3} - \frac{\arctan (\frac{3 (0)}{3})}{3})$

Этап 4.2.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.2.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$6 (\frac{\arctan (1)}{3} - \frac{\arctan (\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})}{3})$

Этап 4.2.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$6 (\frac{\arctan (1)}{3} - \frac{\arctan (\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})}{3})$

Этап 4.2.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$6 (\frac{\arctan (1)}{3} - \frac{\arctan (\frac{0}{1})}{3})$

Этап 4.2.2.2.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$6 (\frac{\arctan (1)}{3} - \frac{\arctan (0)}{3})$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$6 \frac{\arctan (1) - \arctan (0)}{3}$

Этап 5.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Точное значение $\arctan (1)$ : $\frac{π}{4}$ .

$6 \frac{\frac{π}{4} - \arctan (0)}{3}$

Этап 5.2.2

Точное значение $\arctan (0)$ : $0$ .

$6 \frac{\frac{π}{4} - 0}{3}$

Этап 5.2.3

Умножим $- 1$ на $0$ .

$6 \frac{\frac{π}{4} + 0}{3}$

Этап 5.3

Добавим $\frac{π}{4}$ и $0$ .

$6 \frac{\frac{π}{4}}{3}$

Этап 5.4

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Вынесем множитель $3$ из $6$ .

$3 (2) \frac{\frac{π}{4}}{3}$

Этап 5.4.2

Сократим общий множитель.

$3 \cdot 2 \frac{\frac{π}{4}}{3}$

Этап 5.4.3

Перепишем это выражение.

$2 \frac{π}{4}$

Этап 5.5

Объединим $2$ и $\frac{π}{4}$ .

$\frac{2 π}{4}$

Этап 5.6

Сократим общий множитель $2$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1

Вынесем множитель $2$ из $2 π$ .

$\frac{2 (π)}{4}$

Этап 5.6.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\frac{2 π}{2 \cdot 2}$

Этап 5.6.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 π}{2 \cdot 2}$

Этап 5.6.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{π}{2}$

Этап 6

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{π}{2}$

Десятичная форма:

$1.57079632 \dots$

Этап 7