Математический анализ Примеры

$f (x) = 4 - 45 x + 3 x^{2} + x^{3}$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

По правилу суммы производная $4 - 45 x + 3 x^{2} + x^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- 45 x] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- 45 x] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 1.1.2

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4$ относительно $x$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 45 x] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 45 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $- 45$ является константой относительно $x$ , производная $- 45 x$ по $x$ равна $- 45 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - 45 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$0 - 45 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 1.2.3

Умножим $- 45$ на $1$ .

$0 - 45 + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x^{2}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 - 45 + 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$0 - 45 + 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 1.3.3

Умножим $2$ на $3$ .

$0 - 45 + 6 x + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 1.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$0 - 45 + 6 x + 3 x^{2}$

Этап 1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Вычтем $45$ из $0$ .

$- 45 + 6 x + 3 x^{2}$

Этап 1.5.2

Изменим порядок членов.

$3 x^{2} + 6 x - 45$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $3 x^{2} + 6 x - 45$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 45]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (6 x) + \frac{d}{d x} (- 45)$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x^{2}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (6 x) + \frac{d}{d x} (- 45)$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (6 x) + \frac{d}{d x} (- 45)$

Этап 2.2.3

Умножим $2$ на $3$ .

$f'' (x) = 6 x + \frac{d}{d x} (6 x) + \frac{d}{d x} (- 45)$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [6 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $6 x$ по $x$ равна $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 6 x + 6 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 45)$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = 6 x + 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 45)$

Этап 2.3.3

Умножим $6$ на $1$ .

$f'' (x) = 6 x + 6 + \frac{d}{d x} (- 45)$

Этап 2.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Поскольку $- 45$ является константой относительно $x$ , производная $- 45$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = 6 x + 6 + 0$

Этап 2.4.2

Добавим $6 x + 6$ и $0$ .

$f'' (x) = 6 x + 6$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$3 x^{2} + 6 x - 45 = 0$

Этап 4

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1.1

$\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- 45 x] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 4.1.1.2

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4$ относительно $x$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 45 x] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 4.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 45 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Поскольку $- 45$ является константой относительно $x$ , производная $- 45 x$ по $x$ равна $- 45 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - 45 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 4.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$0 - 45 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 4.1.2.3

Умножим $- 45$ на $1$ .

$0 - 45 + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 4.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x^{2}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 - 45 + 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 4.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$0 - 45 + 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 4.1.3.3

Умножим $2$ на $3$ .

$0 - 45 + 6 x + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 4.1.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$0 - 45 + 6 x + 3 x^{2}$

Этап 4.1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.1

Вычтем $45$ из $0$ .

$- 45 + 6 x + 3 x^{2}$

Этап 4.1.5.2

Изменим порядок членов.

$f' (x) = 3 x^{2} + 6 x - 45$

Этап 4.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $3 x^{2} + 6 x - 45$ .

$3 x^{2} + 6 x - 45$

Этап 5

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $3 x^{2} + 6 x - 45 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$3 x^{2} + 6 x - 45 = 0$

Этап 5.2

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3 x^{2} + 6 x - 45$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Вынесем множитель $3$ из $3 x^{2}$ .

$3 (x^{2}) + 6 x - 45 = 0$

Этап 5.2.1.2

Вынесем множитель $3$ из $6 x$ .

$3 (x^{2}) + 3 (2 x) - 45 = 0$

Этап 5.2.1.3

Вынесем множитель $3$ из $- 45$ .

$3 x^{2} + 3 (2 x) + 3 \cdot - 15 = 0$

Этап 5.2.1.4

Вынесем множитель $3$ из $3 x^{2} + 3 (2 x)$ .

$3 (x^{2} + 2 x) + 3 \cdot - 15 = 0$

Этап 5.2.1.5

Вынесем множитель $3$ из $3 (x^{2} + 2 x) + 3 \cdot - 15$ .

$3 (x^{2} + 2 x - 15) = 0$

Этап 5.2.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Разложим $x^{2} + 2 x - 15$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 15$ , а сумма — $2$ .

$- 3, 5$

Этап 5.2.2.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$3 ((x - 3) (x + 5)) = 0$

Этап 5.2.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$3 (x - 3) (x + 5) = 0$

Этап 5.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 3 = 0$

$x + 5 = 0$

Этап 5.4

Приравняем $x - 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Приравняем $x - 3$ к $0$ .

$x - 3 = 0$

Этап 5.4.2

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$x = 3$

Этап 5.5

Приравняем $x + 5$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Приравняем $x + 5$ к $0$ .

$x + 5 = 0$

Этап 5.5.2

Вычтем $5$ из обеих частей уравнения.

$x = - 5$

Этап 5.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $3 (x - 3) (x + 5) = 0$ верно.

$x = 3, - 5$

Этап 6

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 7

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = 3, - 5$

Этап 8

Найдем вторую производную в $x = 3$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$6 (3) + 6$

Этап 9

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Умножим $6$ на $3$ .

$18 + 6$

Этап 9.2

Добавим $18$ и $6$ .

$24$

Этап 10

$x = 3$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = 3$ — локальный минимум

Этап 11

Найдем значение y, если $x = 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $3$ .

$f (3) = 4 - 45 \cdot 3 + 3 {(3)}^{2} + {(3)}^{3}$

Этап 11.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.1

Умножим $- 45$ на $3$ .

$f (3) = 4 - 135 + 3 {(3)}^{2} + {(3)}^{3}$

Этап 11.2.1.2

Умножим $3$ на ${(3)}^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.2.1

Умножим $3$ на ${(3)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.2.1.1

Возведем $3$ в степень $1$ .

$f (3) = 4 - 135 + 3 {(3)}^{2} + {(3)}^{3}$

Этап 11.2.1.2.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f (3) = 4 - 135 + 3^{1 + 2} + {(3)}^{3}$

Этап 11.2.1.2.2

Добавим $1$ и $2$ .

$f (3) = 4 - 135 + 3^{3} + {(3)}^{3}$

Этап 11.2.1.3

Возведем $3$ в степень $3$ .

$f (3) = 4 - 135 + 27 + {(3)}^{3}$

Этап 11.2.1.4

Возведем $3$ в степень $3$ .

$f (3) = 4 - 135 + 27 + 27$

Этап 11.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.2.1

Вычтем $135$ из $4$ .

$f (3) = - 131 + 27 + 27$

Этап 11.2.2.2

Добавим $- 131$ и $27$ .

$f (3) = - 104 + 27$

Этап 11.2.2.3

Добавим $- 104$ и $27$ .

$f (3) = - 77$

Этап 11.2.3

Окончательный ответ: $- 77$ .

$y = - 77$

Этап 12

Найдем вторую производную в $x = - 5$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$6 (- 5) + 6$

Этап 13

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Умножим $6$ на $- 5$ .

$- 30 + 6$

Этап 13.2

Добавим $- 30$ и $6$ .

$- 24$

Этап 14

$x = - 5$ — локальный максимум, так как вторая производная отрицательная. Это называется тестом второй производной.

$x = - 5$ — локальный максимум

Этап 15

Найдем значение y, если $x = - 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 5$ .

$f (- 5) = 4 - 45 \cdot - 5 + 3 {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3}$

Этап 15.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.1

Умножим $- 45$ на $- 5$ .

$f (- 5) = 4 + 225 + 3 {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3}$

Этап 15.2.1.2

Возведем $- 5$ в степень $2$ .

$f (- 5) = 4 + 225 + 3 \cdot 25 + {(- 5)}^{3}$

Этап 15.2.1.3

Умножим $3$ на $25$ .

$f (- 5) = 4 + 225 + 75 + {(- 5)}^{3}$

Этап 15.2.1.4

Возведем $- 5$ в степень $3$ .

$f (- 5) = 4 + 225 + 75 - 125$

Этап 15.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.2.1

Добавим $4$ и $225$ .

$f (- 5) = 229 + 75 - 125$

Этап 15.2.2.2

Добавим $229$ и $75$ .

$f (- 5) = 304 - 125$

Этап 15.2.2.3

Вычтем $125$ из $304$ .

$f (- 5) = 179$

Этап 15.2.3

Окончательный ответ: $179$ .

$y = 179$

Этап 16

Это локальные экстремумы $f (x) = 4 - 45 x + 3 x^{2} + x^{3}$ .

$(3, - 77)$ — локальный минимум

$(- 5, 179)$ — локальный максимум

Этап 17