Математический анализ Примеры

$y' = 2 x y$

Этап 1

Перепишем дифференциальное уравнение.

$\frac{d y}{d x} = 2 x y$

Этап 2

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Умножим обе части на $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (2 x y)$

Этап 2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 2 \frac{1}{y} (x y)$

Этап 2.2.2

Объединим $2$ и $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{2}{y} (x y)$

Этап 2.2.3

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Вынесем множитель $y$ из $x y$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{2}{y} (y x)$

Этап 2.2.3.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{2}{y} (y x)$

Этап 2.2.3.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 2 x$

Этап 2.3

Перепишем уравнение.

$\frac{1}{y} d y = 2 x d x$

Этап 3

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{y} d y = \int 2 x d x$

Этап 3.2

Интеграл $\frac{1}{y}$ по $y$ имеет вид $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int 2 x d x$

Этап 3.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 \int x d x$

Этап 3.3.2

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$

Этап 3.3.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Перепишем $2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$ в виде $2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$

Этап 3.3.3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.2.1

Объединим $2$ и $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{2}{2} x^{2} + C_{2}$

Этап 3.3.3.2.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{2}{2} x^{2} + C_{2}$

Этап 3.3.3.2.2.2

Перепишем это выражение.

$\ln (| y |) + C_{1} = 1 x^{2} + C_{2}$

Этап 3.3.3.2.3

Умножим $x^{2}$ на $1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = x^{2} + C_{2}$

Этап 3.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$\ln (| y |) = x^{2} + C$

Этап 4

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Чтобы решить относительно $y$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (| y |)} = e^{x^{2} + C}$

Этап 4.2

Перепишем $\ln (| y |) = x^{2} + C$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{x^{2} + C} = | y |$

Этап 4.3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Перепишем уравнение в виде $| y | = e^{x^{2} + C}$ .

$| y | = e^{x^{2} + C}$

Этап 4.3.2

Избавимся от знаков модуля. В правой части уравнения возникнет знак $\pm$ , поскольку $| x | = \pm x$ .

$y = \pm e^{x^{2} + C}$

Этап 5

Сгруппируем постоянные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перепишем $e^{x^{2} + C}$ в виде $e^{x^{2}} e^{C}$ .

$y = \pm e^{x^{2}} e^{C}$

Этап 5.2

Изменим порядок $e^{x^{2}}$ и $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{x^{2}}$

Этап 5.3

Объединим константы с плюсом или минусом.

$y = C e^{x^{2}}$