Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) - \sinh (x)}{\cos (x) - \cosh (x)}$

Этап 1

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} \sin (x) - \sinh (x)}{lim_{x \to 0} \cos (x) - \cosh (x)}$

Этап 2

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} \sin (x) - lim_{x \to 0} \sinh (x)}{lim_{x \to 0} \cos (x) - \cosh (x)}$

Этап 3

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.

$\frac{\sin (lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} \sinh (x)}{lim_{x \to 0} \cos (x) - \cosh (x)}$

Этап 4

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{\sin (lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} \sinh (x)}{lim_{x \to 0} \cos (x) - lim_{x \to 0} \cosh (x)}$

Этап 5

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.

$\frac{\sin (lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} \sinh (x)}{\cos (lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} \cosh (x)}$

Этап 6

Найдем значения пределов, подставив значение $0$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{\sin (0) - lim_{x \to 0} \sinh (x)}{\cos (lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} \cosh (x)}$

Этап 6.2

Найдем предел $\sinh (x)$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{\sin (0) - \sinh (0)}{\cos (lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} \cosh (x)}$

Этап 6.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{\sin (0) - \sinh (0)}{\cos (0) - lim_{x \to 0} \cosh (x)}$

Этап 6.4

Найдем предел $\cosh (x)$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{\sin (0) - \sinh (0)}{\cos (0) - \cosh (0)}$

Этап 7

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$\frac{0 - \sinh (0)}{\cos (0) - \cosh (0)}$

Этап 7.1.2

Вычтем $\sinh (0)$ из $0$ .

$\frac{- \sinh (0)}{\cos (0) - \cosh (0)}$

Этап 7.2

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$\frac{- \sinh (0)}{1 - \cosh (0)}$

Этап 7.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{\sinh (0)}{1 - \cosh (0)}$