Математический анализ Примеры

$\int_{3}^{5} \frac{3 x + 5}{x^{2} + 2 x - 3} d x$

Этап 1

Запишем дробь, используя разложение на элементарные дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разложим дробь и умножим на общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Разложим $x^{2} + 2 x - 3$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 3$ , а сумма — $2$ .

$- 1, 3$

Этап 1.1.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$\frac{3 x + 5}{(x - 1) (x + 3)}$

Этап 1.1.2

Для каждого множителя в знаменателе создадим новую дробь, используя множитель в качестве знаменателя, а неизвестное значение — в качестве числителя. Поскольку множитель в знаменателе линейный, поместим одну переменную на его место $A$ .

$\frac{A}{x - 1}$

Этап 1.1.3

$\frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x + 3}$

Этап 1.1.4

Умножим каждую дробь в уравнении на знаменатель исходного выражения. В этом случае знаменатель равен $(x - 1) (x + 3)$ .

$\frac{(3 x + 5) (x - 1) (x + 3)}{(x - 1) (x + 3)} = \frac{(A) (x - 1) (x + 3)}{x - 1} + \frac{(B) (x - 1) (x + 3)}{x + 3}$

Этап 1.1.5

Сократим общий множитель $x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.5.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(3 x + 5) (x - 1) (x + 3)}{(x - 1) (x + 3)} = \frac{(A) (x - 1) (x + 3)}{x - 1} + \frac{(B) (x - 1) (x + 3)}{x + 3}$

Этап 1.1.5.2

Перепишем это выражение.

$\frac{(3 x + 5) (x + 3)}{x + 3} = \frac{(A) (x - 1) (x + 3)}{x - 1} + \frac{(B) (x - 1) (x + 3)}{x + 3}$

Этап 1.1.6

Сократим общий множитель $x + 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.6.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(3 x + 5) (x + 3)}{x + 3} = \frac{(A) (x - 1) (x + 3)}{x - 1} + \frac{(B) (x - 1) (x + 3)}{x + 3}$

Этап 1.1.6.2

Разделим $3 x + 5$ на $1$ .

$3 x + 5 = \frac{(A) (x - 1) (x + 3)}{x - 1} + \frac{(B) (x - 1) (x + 3)}{x + 3}$

Этап 1.1.7

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.7.1

Сократим общий множитель $x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.7.1.1

Сократим общий множитель.

$3 x + 5 = \frac{A (x - 1) (x + 3)}{x - 1} + \frac{(B) (x - 1) (x + 3)}{x + 3}$

Этап 1.1.7.1.2

Разделим $(A) (x + 3)$ на $1$ .

$3 x + 5 = (A) (x + 3) + \frac{(B) (x - 1) (x + 3)}{x + 3}$

Этап 1.1.7.2

Применим свойство дистрибутивности.

$3 x + 5 = A x + A \cdot 3 + \frac{(B) (x - 1) (x + 3)}{x + 3}$

Этап 1.1.7.3

Перенесем $3$ влево от $A$ .

$3 x + 5 = A x + 3 \cdot A + \frac{(B) (x - 1) (x + 3)}{x + 3}$

Этап 1.1.7.4

Сократим общий множитель $x + 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.7.4.1

Сократим общий множитель.

$3 x + 5 = A x + 3 A + \frac{(B) (x - 1) (x + 3)}{x + 3}$

Этап 1.1.7.4.2

Разделим $(B) (x - 1)$ на $1$ .

$3 x + 5 = A x + 3 A + (B) (x - 1)$

Этап 1.1.7.5

Применим свойство дистрибутивности.

$3 x + 5 = A x + 3 A + B x + B \cdot - 1$

Этап 1.1.7.6

Перенесем $- 1$ влево от $B$ .

$3 x + 5 = A x + 3 A + B x - 1 \cdot B$

Этап 1.1.7.7

Перепишем $- 1 B$ в виде $- B$ .

$3 x + 5 = A x + 3 A + B x - B$

Этап 1.1.8

Перенесем $3 A$ .

$3 x + 5 = A x + B x + 3 A - B$

Этап 1.2

Составим уравнения для переменных элементарной дроби и используем их для создания системы уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты $x$ из каждой части уравнения. Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$3 = A + B$

Этап 1.2.2

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты членов, не содержащих $x$ . Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$5 = 3 A - 1 B$

Этап 1.2.3

Составим систему уравнений, чтобы найти коэффициенты элементарных дробей.

$3 = A + B$

$5 = 3 A - 1 B$

$3 = A + B$

$5 = 3 A - 1 B$

Этап 1.3

Решим систему уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Решим относительно $A$ в $3 = A + B$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1

Перепишем уравнение в виде $A + B = 3$ .

$A + B = 3$

$5 = 3 A - 1 B$

Этап 1.3.1.2

Вычтем $B$ из обеих частей уравнения.

$A = 3 - B$

$5 = 3 A - 1 B$

$A = 3 - B$

$5 = 3 A - 1 B$

Этап 1.3.2

Заменим все вхождения $A$ на $3 - B$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Заменим все вхождения $A$ в $5 = 3 A - 1 B$ на $3 - B$ .

$5 = 3 (3 - B) - 1 B$

$A = 3 - B$

Этап 1.3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.2.1

Упростим $3 (3 - B) - 1 B$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.2.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$5 = 3 \cdot 3 + 3 (- B) - 1 B$

$A = 3 - B$

Этап 1.3.2.2.1.1.2

Умножим $3$ на $3$ .

$5 = 9 + 3 (- B) - 1 B$

$A = 3 - B$

Этап 1.3.2.2.1.1.3

Умножим $- 1$ на $3$ .

$5 = 9 - 3 B - 1 B$

$A = 3 - B$

Этап 1.3.2.2.1.1.4

Перепишем $- 1 B$ в виде $- B$ .

$5 = 9 - 3 B - B$

$A = 3 - B$

$5 = 9 - 3 B - B$

$A = 3 - B$

Этап 1.3.2.2.1.2

Вычтем $B$ из $- 3 B$ .

$5 = 9 - 4 B$

$A = 3 - B$

$5 = 9 - 4 B$

$A = 3 - B$

$5 = 9 - 4 B$

$A = 3 - B$

$5 = 9 - 4 B$

$A = 3 - B$

Этап 1.3.3

Решим относительно $B$ в $5 = 9 - 4 B$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1

Перепишем уравнение в виде $9 - 4 B = 5$ .

$9 - 4 B = 5$

$A = 3 - B$

Этап 1.3.3.2

Перенесем все члены без $B$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.2.1

Вычтем $9$ из обеих частей уравнения.

$- 4 B = 5 - 9$

$A = 3 - B$

Этап 1.3.3.2.2

Вычтем $9$ из $5$ .

$- 4 B = - 4$

$A = 3 - B$

$- 4 B = - 4$

$A = 3 - B$

Этап 1.3.3.3

Разделим каждый член $- 4 B = - 4$ на $- 4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.3.1

Разделим каждый член $- 4 B = - 4$ на $- 4$ .

$\frac{- 4 B}{- 4} = \frac{- 4}{- 4}$

$A = 3 - B$

Этап 1.3.3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.3.2.1

Сократим общий множитель $- 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 4 B}{- 4} = \frac{- 4}{- 4}$

$A = 3 - B$

Этап 1.3.3.3.2.1.2

Разделим $B$ на $1$ .

$B = \frac{- 4}{- 4}$

$A = 3 - B$

$B = \frac{- 4}{- 4}$

$A = 3 - B$

$B = \frac{- 4}{- 4}$

$A = 3 - B$

Этап 1.3.3.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.3.3.1

Разделим $- 4$ на $- 4$ .

$B = 1$

$A = 3 - B$

$B = 1$

$A = 3 - B$

$B = 1$

$A = 3 - B$

$B = 1$

$A = 3 - B$

Этап 1.3.4

Заменим все вхождения $B$ на $1$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.1

Заменим все вхождения $B$ в $A = 3 - B$ на $1$ .

$A = 3 - (1)$

$B = 1$

Этап 1.3.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.2.1

Упростим $3 - (1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.2.1.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$A = 3 - 1$

$B = 1$

Этап 1.3.4.2.1.2

Вычтем $1$ из $3$ .

$A = 2$

$B = 1$

$A = 2$

$B = 1$

$A = 2$

$B = 1$

$A = 2$

$B = 1$

Этап 1.3.5

Перечислим все решения.

$A = 2, B = 1$

Этап 1.4

Заменим каждый коэффициент элементарной дроби в $\frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x + 3}$ значениями, найденными для $A$ и $B$ .

$\frac{2}{x - 1} + \frac{1}{x + 3}$

Этап 1.5

Удалим ноль из выражения.

$\int_{3}^{5} \frac{2}{x - 1} + \frac{1}{x + 3} d x$

Этап 2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{3}^{5} \frac{2}{x - 1} d x + \int_{3}^{5} \frac{1}{x + 3} d x$

Этап 3

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$2 \int_{3}^{5} \frac{1}{x - 1} d x + \int_{3}^{5} \frac{1}{x + 3} d x$

Этап 4

Пусть $u_{1} = x - 1$ . Тогда $d u_{1} = d x$ . Перепишем, используя $u_{1}$ и $d$ $u_{1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Пусть $u_{1} = x - 1$ . Найдем $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Дифференцируем $x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

Этап 4.1.2

По правилу суммы производная $x - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 4.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 4.1.4

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 4.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 4.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u_{1} = x - 1$ .

$u_{lower} = 3 - 1$

Этап 4.3

Вычтем $1$ из $3$ .

$u_{lower} = 2$

Этап 4.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u_{1} = x - 1$ .

$u_{upper} = 5 - 1$

Этап 4.5

Вычтем $1$ из $5$ .

$u_{upper} = 4$

Этап 4.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 2$

$u_{upper} = 4$

Этап 4.7

Переформулируем задачу, используя $u_{1}$ , $d u_{1}$ и новые пределы интегрирования.

$2 \int_{2}^{4} \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int_{3}^{5} \frac{1}{x + 3} d x$

Этап 5

Интеграл $\frac{1}{u_{1}}$ по $u_{1}$ имеет вид $\ln (| u_{1} |)$ .

$2 (\ln (| u_{1} |)]_{2}^{4}) + \int_{3}^{5} \frac{1}{x + 3} d x$

Этап 6

Пусть $u_{2} = x + 3$ . Тогда $d u_{2} = d x$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Пусть $u_{2} = x + 3$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Дифференцируем $x + 3$ .

$\frac{d}{d x} [x + 3]$

Этап 6.1.2

По правилу суммы производная $x + 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 6.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 6.1.4

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3$ относительно $x$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 6.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 6.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u_{2} = x + 3$ .

$u_{lower} = 3 + 3$

Этап 6.3

Добавим $3$ и $3$ .

$u_{lower} = 6$

Этап 6.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u_{2} = x + 3$ .

$u_{upper} = 5 + 3$

Этап 6.5

Добавим $5$ и $3$ .

$u_{upper} = 8$

Этап 6.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 6$

$u_{upper} = 8$

Этап 6.7

Переформулируем задачу, используя $u_{2}$ , $d u_{2}$ и новые пределы интегрирования.

$2 (\ln (| u_{1} |)]_{2}^{4}) + \int_{6}^{8} \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Этап 7

Интеграл $\frac{1}{u_{2}}$ по $u_{2}$ имеет вид $\ln (| u_{2} |)$ .

$2 (\ln (| u_{1} |)]_{2}^{4}) + \ln (| u_{2} |)]_{6}^{8}$

Этап 8

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Найдем значение $\ln (| u_{1} |)$ в $4$ и в $2$ .

$2 ((\ln (| 4 |)) - \ln (| 2 |)) + \ln (| u_{2} |)]_{6}^{8}$

Этап 8.2

Найдем значение $\ln (| u_{2} |)$ в $8$ и в $6$ .

$2 ((\ln (| 4 |)) - \ln (| 2 |)) + (\ln (| 8 |)) - \ln (| 6 |)$

Этап 8.3

Избавимся от ненужных скобок.

$2 (\ln (| 4 |) - \ln (| 2 |)) + \ln (| 8 |) - \ln (| 6 |)$

Этап 9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$2 \ln (\frac{| 4 |}{| 2 |}) + \ln (| 8 |) - \ln (| 6 |)$

Этап 9.2

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$2 \ln (\frac{| 4 |}{| 2 |}) + \ln (\frac{| 8 |}{| 6 |})$

Этап 10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $4$ равно $4$ .

$2 \ln (\frac{4}{| 2 |}) + \ln (\frac{| 8 |}{| 6 |})$

Этап 10.2

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $2$ равно $2$ .

$2 \ln (\frac{4}{2}) + \ln (\frac{| 8 |}{| 6 |})$

Этап 10.3

Разделим $4$ на $2$ .

$2 \ln (2) + \ln (\frac{| 8 |}{| 6 |})$

Этап 10.4

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $8$ равно $8$ .

$2 \ln (2) + \ln (\frac{8}{| 6 |})$

Этап 10.5

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $6$ равно $6$ .

$2 \ln (2) + \ln (\frac{8}{6})$

Этап 10.6

Сократим общий множитель $8$ и $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.6.1

Вынесем множитель $2$ из $8$ .

$2 \ln (2) + \ln (\frac{2 (4)}{6})$

Этап 10.6.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.6.2.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$2 \ln (2) + \ln (\frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 3})$

Этап 10.6.2.2

Сократим общий множитель.

$2 \ln (2) + \ln (\frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 3})$

Этап 10.6.2.3

Перепишем это выражение.

$2 \ln (2) + \ln (\frac{4}{3})$

Этап 11

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$2 \ln (2) + \ln (\frac{4}{3})$

Десятичная форма:

$1.67397643 \dots$

Этап 12