Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{3} \frac{1}{{(1 - x)}^{2}} d x$

Этап 1

Пусть $u = 1 - x$ . Тогда $d u = - d x$ , следовательно $- d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u = 1 - x$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Перепишем.

$\frac{- 1}{1}$

Этап 1.1.2

Разделим $- 1$ на $1$ .

$- 1$

Этап 1.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u = 1 - x$ .

$u_{lower} = 1 - 0$

Этап 1.3

Вычтем $0$ из $1$ .

$u_{lower} = 1$

Этап 1.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u = 1 - x$ .

$u_{upper} = 1 - 1 \cdot 3$

Этап 1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$u_{upper} = 1 - 3$

Этап 1.5.2

Вычтем $3$ из $1$ .

$u_{upper} = - 2$

Этап 1.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = - 2$

Этап 1.7

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$\int_{1}^{- 2} \frac{- 1}{u^{2}} d u$

Этап 2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\int_{1}^{- 2} - \frac{1}{u^{2}} d u$

Этап 3

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \int_{1}^{- 2} \frac{1}{u^{2}} d u$

Этап 4

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вынесем $u^{2}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$- \int_{1}^{- 2} {(u^{2})}^{- 1} d u$

Этап 4.2

Перемножим экспоненты в ${(u^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \int_{1}^{- 2} u^{2 \cdot - 1} d u$

Этап 4.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$- \int_{1}^{- 2} u^{- 2} d u$

Этап 5

По правилу степени интеграл $u^{- 2}$ по $u$ имеет вид $- u^{- 1}$ .

$- (- u^{- 1}]_{1}^{- 2})$

Этап 6

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Найдем значение $- u^{- 1}$ в $- 2$ и в $1$ .

$- ((- {(- 2)}^{- 1}) + 1^{- 1})$

Этап 6.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- (- \frac{1}{- 2} + 1^{- 1})$

Этап 6.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- (- - \frac{1}{2} + 1^{- 1})$

Этап 6.2.3

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$- (1 (\frac{1}{2}) + 1^{- 1})$

Этап 6.2.4

Умножим $\frac{1}{2}$ на $1$ .

$- (\frac{1}{2} + 1^{- 1})$

Этап 6.2.5

Единица в любой степени равна единице.

$- (\frac{1}{2} + 1)$

Этап 6.2.6

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$- (\frac{1}{2} + \frac{2}{2})$

Этап 6.2.7

Объединим числители над общим знаменателем.

$- \frac{1 + 2}{2}$

Этап 6.2.8

Добавим $1$ и $2$ .

$- \frac{3}{2}$

Этап 7

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$- \frac{3}{2}$

Десятичная форма:

$- 1.5$

Форма смешанных чисел:

$- 1 \frac{1}{2}$

Этап 8