Математический анализ Примеры

$\int_{1}^{3} \frac{x - 2}{x^{2} - 4 x} d x$

Этап 1

Пусть $u = x^{2} - 4 x$ . Тогда $d u = (2 x - 4) d x$ , следовательно $\frac{1}{2} d u = (x - 2) d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u = x^{2} - 4 x$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $x^{2} - 4 x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x]$

Этап 1.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

По правилу суммы производная $x^{2} - 4 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Этап 1.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Этап 1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4 x$ по $x$ равна $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x - 4 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 x - 4 \cdot 1$

Этап 1.1.3.3

Умножим $- 4$ на $1$ .

$2 x - 4$

Этап 1.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u = x^{2} - 4 x$ .

$u_{lower} = 1^{2} - 4 \cdot 1$

Этап 1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$u_{lower} = 1 - 4 \cdot 1$

Этап 1.3.1.2

Умножим $- 4$ на $1$ .

$u_{lower} = 1 - 4$

Этап 1.3.2

Вычтем $4$ из $1$ .

$u_{lower} = - 3$

Этап 1.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u = x^{2} - 4 x$ .

$u_{upper} = 3^{2} - 4 \cdot 3$

Этап 1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1.1

Возведем $3$ в степень $2$ .

$u_{upper} = 9 - 4 \cdot 3$

Этап 1.5.1.2

Умножим $- 4$ на $3$ .

$u_{upper} = 9 - 12$

Этап 1.5.2

Вычтем $12$ из $9$ .

$u_{upper} = - 3$

Этап 1.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = - 3$

$u_{upper} = - 3$

Этап 1.7

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$\int_{- 3}^{- 3} \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Этап 2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Умножим $\frac{1}{u}$ на $\frac{1}{2}$ .

$\int_{- 3}^{- 3} \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Этап 2.2

Перенесем $2$ влево от $u$ .

$\int_{- 3}^{- 3} \frac{1}{2 u} d u$

Этап 3

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} \int_{- 3}^{- 3} \frac{1}{u} d u$

Этап 4

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{2} \ln (| u |)]_{- 3}^{- 3}$

Этап 5

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем значение $\ln (| u |)$ в $- 3$ и в $- 3$ .

$\frac{1}{2} ((\ln (| - 3 |)) - \ln (| - 3 |))$

Этап 5.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вычтем $\ln (| - 3 |)$ из $\ln (| - 3 |)$ .

$\frac{1}{2} \cdot 0$

Этап 5.2.2

Умножим $\frac{1}{2}$ на $0$ .

$0$

Этап 6