Математический анализ Примеры

$\int_{\frac{1}{12}}^{\frac{1}{4}} \csc (2 π t) \cot (2 π t) d t$

Этап 1

Пусть $u_{2} = \csc (2 π t)$ . Тогда $d u_{2} = - 2 π \cot (2 π t) \csc (2 π t) d t$ , следовательно $\frac{1}{- 2 π} d u_{2} = \cot (2 π t) \csc (2 π t) d t$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u_{2} = \csc (2 π t)$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d t}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $\csc (2 π t)$ .

$\frac{d}{d t} [\csc (2 π t)]$

Этап 1.1.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ имеет вид $f' (g (t)) g' (t)$ , где $f (t) = \csc (t)$ и $g (t) = 2 π t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $2 π t$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\csc (u_{1})] \frac{d}{d t} [2 π t]$

Этап 1.1.2.2

Производная $\csc (u_{1})$ по $u_{1}$ равна $- \csc (u_{1}) \cot (u_{1})$ .

$- \csc (u_{1}) \cot (u_{1}) \frac{d}{d t} [2 π t]$

Этап 1.1.2.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $2 π t$ .

$- \csc (2 π t) \cot (2 π t) \frac{d}{d t} [2 π t]$

Этап 1.1.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Поскольку $2 π$ является константой относительно $t$ , производная $2 π t$ по $t$ равна $2 π \frac{d}{d t} [t]$ .

$- \csc (2 π t) \cot (2 π t) (2 π \frac{d}{d t} [t])$

Этап 1.1.3.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$- 2 \csc (2 π t) \cot (2 π t) (π \frac{d}{d t} [t])$

Этап 1.1.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 2 \csc (2 π t) \cot (2 π t) (π \cdot 1)$

Этап 1.1.3.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.4.1

Умножим $π$ на $1$ .

$- 2 \csc (2 π t) \cot (2 π t) π$

Этап 1.1.3.4.2

Изменим порядок множителей в $- 2 \csc (2 π t) \cot (2 π t) π$ .

$- 2 π \cot (2 π t) \csc (2 π t)$

Этап 1.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $t$ в $u_{2} = \csc (2 π t)$ .

$u_{lower} = \csc (2 π \frac{1}{12})$

Этап 1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1

Вынесем множитель $2$ из $2 π$ .

$u_{lower} = \csc (2 (π) \frac{1}{12})$

Этап 1.3.1.2

Вынесем множитель $2$ из $12$ .

$u_{lower} = \csc (2 (π) \frac{1}{2 (6)})$

Этап 1.3.1.3

Сократим общий множитель.

$u_{lower} = \csc (2 π \frac{1}{2 \cdot 6})$

Этап 1.3.1.4

Перепишем это выражение.

$u_{lower} = \csc (π \frac{1}{6})$

Этап 1.3.2

Объединим $π$ и $\frac{1}{6}$ .

$u_{lower} = \csc (\frac{π}{6})$

Этап 1.3.3

Точное значение $\csc (\frac{π}{6})$ : $2$ .

$u_{lower} = 2$

Этап 1.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $t$ в $u_{2} = \csc (2 π t)$ .

$u_{upper} = \csc (2 π \frac{1}{4})$

Этап 1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1.1

Вынесем множитель $2$ из $2 π$ .

$u_{upper} = \csc (2 (π) \frac{1}{4})$

Этап 1.5.1.2

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$u_{upper} = \csc (2 (π) \frac{1}{2 (2)})$

Этап 1.5.1.3

Сократим общий множитель.

$u_{upper} = \csc (2 π \frac{1}{2 \cdot 2})$

Этап 1.5.1.4

Перепишем это выражение.

$u_{upper} = \csc (π \frac{1}{2})$

Этап 1.5.2

Объединим $π$ и $\frac{1}{2}$ .

$u_{upper} = \csc (\frac{π}{2})$

Этап 1.5.3

Точное значение $\csc (\frac{π}{2})$ : $1$ .

$u_{upper} = 1$

Этап 1.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 2$

$u_{upper} = 1$

Этап 1.7

Переформулируем задачу, используя $u_{2}$ , $d u_{2}$ и новые пределы интегрирования.

$\int_{2}^{1} \frac{1}{- 2 π} d u_{2}$

Этап 2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\int_{2}^{1} - \frac{1}{2 π} d u_{2}$

Этап 3

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$- \frac{1}{2 π} u_{2}]_{2}^{1}$

Этап 4

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем значение $- \frac{1}{2 π} u_{2}$ в $1$ и в $2$ .

$(- \frac{1}{2 π} \cdot 1) + \frac{1}{2 π} \cdot 2$

Этап 4.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- \frac{1}{2 π} + \frac{1}{2 π} \cdot 2$

Этап 4.2.2

Объединим $\frac{1}{2 π}$ и $2$ .

$- \frac{1}{2 π} + \frac{2}{2 π}$

Этап 4.2.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Сократим общий множитель.

$- \frac{1}{2 π} + \frac{2}{2 π}$

Этап 4.2.3.2

Перепишем это выражение.

$- \frac{1}{2 π} + \frac{1}{π}$

Этап 4.2.4

Чтобы записать $\frac{1}{π}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{2 π} + \frac{1}{π} \cdot \frac{2}{2}$

Этап 4.2.5

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $2 π$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.5.1

Умножим $\frac{1}{π}$ на $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{2 π} + \frac{2}{π \cdot 2}$

Этап 4.2.5.2

Изменим порядок множителей в $π \cdot 2$ .

$- \frac{1}{2 π} + \frac{2}{2 π}$

Этап 4.2.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- 1 + 2}{2 π}$

Этап 4.2.7

Добавим $- 1$ и $2$ .

$\frac{1}{2 π}$

Этап 5

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{1}{2 π}$

Десятичная форма:

$0.15915494 \dots$