Математический анализ Примеры

$\int \frac{\sin (x)}{\sqrt{4 + \cos^{2} (x)}} d x$

Этап 1

Пусть $u = \cos (x)$ . Тогда $d u = - \sin (x) d x$ , следовательно $- d u = \sin (x) d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u = \cos (x)$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $\cos (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Этап 1.1.2

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$- \sin (x)$

Этап 1.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int \frac{- 1}{\sqrt{4 + u^{2}}} d u$

Этап 2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\int - \frac{1}{\sqrt{4 + u^{2}}} d u$

Этап 3

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \int \frac{1}{\sqrt{4 + u^{2}}} d u$

Этап 4

Пусть $u = 2 \tan (t)$ , где $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Тогда $d u = 2 \sec^{2} (t) d t$ . Заметим, что поскольку $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , выражение $2 \sec^{2} (t)$ положительно.

$- \int \frac{1}{\sqrt{4 + {(2 \tan (t))}^{2}}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Этап 5

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим $\sqrt{4 + {(2 \tan (t))}^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1.1

Применим правило умножения к $2 \tan (t)$ .

$- \int \frac{1}{\sqrt{4 + 2^{2} \tan^{2} (t)}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Этап 5.1.1.2

Возведем $2$ в степень $2$ .

$- \int \frac{1}{\sqrt{4 + 4 \tan^{2} (t)}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Этап 5.1.2

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$- \int \frac{1}{\sqrt{4 (1) + 4 \tan^{2} (t)}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Этап 5.1.3

Вынесем множитель $4$ из $4 \tan^{2} (t)$ .

$- \int \frac{1}{\sqrt{4 (1) + 4 (\tan^{2} (t))}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Этап 5.1.4

Вынесем множитель $4$ из $4 (1) + 4 (\tan^{2} (t))$ .

$- \int \frac{1}{\sqrt{4 (1 + \tan^{2} (t))}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Этап 5.1.5

Переставляем члены.

$- \int \frac{1}{\sqrt{4 (\tan^{2} (t) + 1)}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Этап 5.1.6

Применим формулу Пифагора.

$- \int \frac{1}{\sqrt{4 \sec^{2} (t)}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Этап 5.1.7

Перепишем $4 \sec^{2} (t)$ в виде ${(2 \sec (t))}^{2}$ .

$- \int \frac{1}{\sqrt{{(2 \sec (t))}^{2}}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Этап 5.1.8

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$- \int \frac{1}{2 \sec (t)} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Этап 5.2

Сократим общий множитель $2 \sec (t)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вынесем множитель $2 \sec (t)$ из $2 \sec^{2} (t)$ .

$- \int \frac{1}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) (\sec (t))) d t$

Этап 5.2.2

Сократим общий множитель.

$- \int \frac{1}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) \sec (t)) d t$

Этап 5.2.3

Перепишем это выражение.

$- \int \sec (t) d t$

Этап 6

Интеграл $\sec (t)$ по $t$ имеет вид $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ .

$- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C)$

Этап 7

Упростим.

$- \ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C$

Этап 8

Выполним обратную подстановку для каждой подставленной переменной интегрирования.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Заменим все вхождения $t$ на $\arctan (\frac{u}{2})$ .

$- \ln (| \sec (\arctan (\frac{u}{2})) + \tan (\arctan (\frac{u}{2})) |) + C$

Этап 8.2

Заменим все вхождения $u$ на $\cos (x)$ .

$- \ln (| \sec (\arctan (\frac{\cos (x)}{2})) + \tan (\arctan (\frac{\cos (x)}{2})) |) + C$

Этап 9

Изменим порядок членов.

$- \ln (| \sec (\arctan (\frac{1}{2} \cos (x))) + \tan (\arctan (\frac{1}{2} \cos (x))) |) + C$