Математический анализ Примеры

$\int (6 \sqrt{x^{3}} + 7 \sqrt[3]{x^{2}}) d x$

Этап 1

Избавимся от скобок.

$\int 6 \sqrt{x^{3}} + 7 \sqrt[3]{x^{2}} d x$

Этап 2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int 6 \sqrt{x^{3}} d x + \int 7 \sqrt[3]{x^{2}} d x$

Этап 3

Поскольку $6$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $6$ из-под знака интеграла.

$6 \int \sqrt{x^{3}} d x + \int 7 \sqrt[3]{x^{2}} d x$

Этап 4

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x^{3}}$ в виде $x^{\frac{3}{2}}$ .

$6 \int x^{\frac{3}{2}} d x + \int 7 \sqrt[3]{x^{2}} d x$

Этап 5

По правилу степени интеграл $x^{\frac{3}{2}}$ по $x$ имеет вид $\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}$ .

$6 (\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C) + \int 7 \sqrt[3]{x^{2}} d x$

Этап 6

Поскольку $7$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $7$ из-под знака интеграла.

$6 (\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C) + 7 \int \sqrt[3]{x^{2}} d x$

Этап 7

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{x^{2}}$ в виде $x^{\frac{2}{3}}$ .

$6 (\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C) + 7 \int x^{\frac{2}{3}} d x$

Этап 8

По правилу степени интеграл $x^{\frac{2}{3}}$ по $x$ имеет вид $\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}}$ .

$6 (\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C) + 7 (\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}} + C)$

Этап 9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим.

$6 (\frac{2}{5}) x^{\frac{5}{2}} + 7 (\frac{3}{5}) x^{\frac{5}{3}} + C$

Этап 9.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Объединим $6$ и $\frac{2}{5}$ .

$\frac{6 \cdot 2}{5} x^{\frac{5}{2}} + 7 (\frac{3}{5}) x^{\frac{5}{3}} + C$

Этап 9.2.2

Умножим $6$ на $2$ .

$\frac{12}{5} x^{\frac{5}{2}} + 7 (\frac{3}{5}) x^{\frac{5}{3}} + C$

Этап 9.2.3

Объединим $7$ и $\frac{3}{5}$ .

$\frac{12}{5} x^{\frac{5}{2}} + \frac{7 \cdot 3}{5} x^{\frac{5}{3}} + C$

Этап 9.2.4

Умножим $7$ на $3$ .

$\frac{12}{5} x^{\frac{5}{2}} + \frac{21}{5} x^{\frac{5}{3}} + C$