Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{\sin (t)}{\cos^{2} (t)} d t$

Этап 1

Пусть $u = \cos (t)$ . Тогда $d u = - \sin (t) d t$ , следовательно $- d u = \sin (t) d t$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u = \cos (t)$ . Найдем $\frac{d u}{d t}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $\cos (t)$ .

$\frac{d}{d t} [\cos (t)]$

Этап 1.1.2

Производная $\cos (t)$ по $t$ равна $- \sin (t)$ .

$- \sin (t)$

Этап 1.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $t$ в $u = \cos (t)$ .

$u_{lower} = \cos (0)$

Этап 1.3

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$u_{lower} = 1$

Этап 1.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $t$ в $u = \cos (t)$ .

$u_{upper} = \cos (\frac{π}{4})$

Этап 1.5

Точное значение $\cos (\frac{π}{4})$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$u_{upper} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Этап 1.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Этап 1.7

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$\int_{1}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} \frac{- 1}{u^{2}} d u$

Этап 2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\int_{1}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} - \frac{1}{u^{2}} d u$

Этап 3

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \int_{1}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} \frac{1}{u^{2}} d u$

Этап 4

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вынесем $u^{2}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$- \int_{1}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} {(u^{2})}^{- 1} d u$

Этап 4.2

Перемножим экспоненты в ${(u^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \int_{1}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} u^{2 \cdot - 1} d u$

Этап 4.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$- \int_{1}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} u^{- 2} d u$

Этап 5

По правилу степени интеграл $u^{- 2}$ по $u$ имеет вид $- u^{- 1}$ .

$- (- u^{- 1}]_{1}^{\frac{\sqrt{2}}{2}})$

Этап 6

Найдем значение $- u^{- 1}$ в $\frac{\sqrt{2}}{2}$ и в $1$ .

$- ((- {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{- 1}) + 1^{- 1})$

Этап 7

Изменим знак экспоненты, переписав основание в виде обратной величины.

$- (- \frac{2}{\sqrt{2}} + 1^{- 1})$

Этап 8

Единица в любой степени равна единице.

$- (- \frac{2}{\sqrt{2}} + 1)$

Этап 9

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$- (- \frac{2}{\sqrt{2}} + 1)$

Десятичная форма:

$0.41421356 \dots$